Question

Хотелось бы понять, как решить это уравнение..

Answer 1

$\cos{5x} - \sin{ ( 3x - \frac{ \pi }{2} ) } = \sqrt{2} \cos{ ( 4x + 3 \pi ) } \ ;$

Преобразуем каждое слагаемое:

$\sin{ ( 3x - \frac{ \pi }{2} ) } = - \sin{ ( \frac{ \pi }{2} - 3x ) } = - \cos{3x} \ ;$

$\cos{ ( 4x + 3 \pi ) } = \cos{ ( 4x + \pi ) } = - \cos{4x} \ ;$

Перепишем всё уравнение в преобразованных слагаемых:

[***]     $\cos{5x} + \cos{3x} = - \sqrt{2} \cos{4x} \ ;$

Воспользуемся формулой: $\cos{a} + \cos{b} = 2 \cos{ \frac{a+b}{2} } \cos{ \frac{a-b}{2} } \ ;$

$\cos{5x} + \cos{3x} = 2 \cos{ \frac{ 5x + 3x }{2} } \cos{ \frac{ 5x - 3x }{2} } = 2 \cos{4x} \cos{x} \ ;$

Тогда уравнение [***] можно переписать так:

$2 \cos{4x} \cos{x} = - \sqrt{2} \cos{4x} \ ;$

$\sqrt{2} \cos{4x} \cos{x} + \cos{4x} = 0 \ ;$

$\cos{4x} ( \sqrt{2} \cos{x} + 1 ) = 0 \ ;$

$\left[\begin{array}{l} \cos{4x} = 0 \ , \\ \\ \cos{x} = -\frac{1}{ \sqrt{2} } \ ; \end{array}\right$

$\left[\begin{array}{l} 4x = \frac{ \pi }{2} + \pi k , k \in Z \ ; \\ \\ x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ . \end{array}\right$

О т в е т :

$\left[\begin{array}{l} x = \frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi k }{4} , k \in Z \ ; \\ \\ x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ . \end{array}\right$

.