Question

Решить уравнения 1.sin3x+sinx-sin2x=0 2.3^(x+1)-2*3^(x-2)=25 3.4^x+6^x=2*3^2x , нужно: *: *

Answer 1

1) 
$sin3x+sinx-sin2x=0$

$2sin \frac{3x+x}{2}*cos \frac{3x-x}{2} -sin2x=0$

$2sin 2x*cosx -sin2x=0$

$sin 2x(2cosx -1)=0$

$sin 2x=0$   или    $2cosx -1=0$

$2x= \pi n,$ $n$∈$Z$ или  $cosx = \frac{1}{2}$

$x= \frac{ \pi n}{2} ,$ $n$∈$Z$   или $x=$±$arccos \frac{1}{2} +2 \pi k,$ $k$∈$Z$
                                  $x=$±$\frac{ \pi }{3} +2 \pi k,$  $k$∈$Z$

2) 
$3^{x+1} -2* 3^{x-2}=25$

$3^{x+1} (1-2* 3^{-3})=25$

$3^{x+1} (1- \frac{2}{27} )=25$

$3^{x+1}* \frac{25}{27} =25$

$3^{x+1}=25 : \frac{25}{27}$

$3^{x+1}=25 * \frac{27}{25}$

$3^{x+1}=27$

$3^{x+1}=3^3$

$x+1=3$

$x=2$

3)
$4^x+6^x=2* 3^{2x}$

$2^{2x} +(2*3)^x-2* 3^{2x} =0$

$2^{2x} +2^x*3^x-2* 3^{2x} =0$  l :$3^{2x}$

$(\frac{2}{3}) ^{2x} +(\frac{2}{3}) ^{x}-2=0$

Замена: $(\frac{2}{3}) ^{x}=t,$ $t\ \textgreater \ 0$

$t^2+t-2=0$

$D=1+8=9$

$t_1= \frac{-1+3}{2}=1$

$t_2= \frac{-1-3}{2}=-2$ -   не подходит

$( \frac{2}{3}) ^{x}=1$

$( \frac{2}{3}) ^{x}= ( \frac{2}{3}) ^{0}$

$x=0$