Question

Решите уравнение sin 6x-cos6x=2(sin4x+cos4x)-1

Answer 1

$\sin^6x-\cos^6x=2(\sin^4x+\cos^4x)-1\\ (\sin^3x-\cos^3x)(\sin^3x+\cos^3x)=2(\sin^4x+\cos^4x)-(\sin^2x+\cos^2x)^2\\ (\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=\\ =2\sin^4x+2\cos^4x-\sin^4x-2\sin^2x\cos^2x-\cos^4x\\ (\sin^2x-\cos^2x)(1-\sin^2x\cos^2x)=(\sin^2x-\cos^2x)^2\\ (\sin^2x-\cos^2x)(1-\sin^2x\cos^2x-\sin^2x+\cos^2x)=0\\ -\cos 2x(\sin^2x+\cos^2x-\sin^2x\cos^2x-\sin^2x+\cos^2x)=0\\ -\cos2x(2\cos^2x-\sin^2x\cos^2x)=0\\ -\cos 2x\cos^2x(2-\sin^2x)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$\cos 2x=0\\ 2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},n \in \mathbb{Z}}\\ \\ \cos^2x=0\\ \cos x=0~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_2=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$\sin^2x-2=0\\ \sin x=\pm\sqrt{2}$

Это уравнение решений не имеет, т.к. синус принимает значения [-1;1].