Question

Определите значение а, при которых уравнение х^3+6x^2+ах=0 имеет два корня. найдите эти корни

Answer 1

$x^3 + 6x^2 + a x = 0 \ ;$

$x ( x^2 + 6x + a ) = 0 \ ;$

Итак, ясно что данное уравнение всегда имеет один корень    $x = 0 \ .$

Значит, нужно найти условие, когда:

1) либо один (и только один) из двух разных корней квадратного уравнения    $x^2 + 6x + a = 0 \$    тоже будет равен нулю,

2) либо квадратное уравнение:    $x^2 + 6x + a = 0 \$
будет иметь ровно один корень.

1*) При подстановке в квадратное уравнение    $x = 0 \ ,$ получаем, что    $0^2 + 6 \cdot 0 + a = 0 \ ,$    это верное только при    $a = 0 \ .$

В самом деле, уравнение:    $x^3 + 6x^2 + 0 \cdot x = 0 \ ; \Rightarrow \ x^2 ( x + 6 ) = 0 \ ;$    имеет как раз два корня    $x \in \{ -6 , 0 \} \ .$

2*) квадратное уравнение:    $x^2 + 6x + a = 0 \$    имеет ровно один корень, когда его дискриминант равен нулю, т.е.:

$\frac{D}{4} = 3^2 - a = 0 \ ; \ \Rightarrow \ a = 9 \ ;$

В самом деле, уравнение:    $x^3 + 6x^2 + 9x = 0 \ ; \Rightarrow \ x ( x^2 + 6x + 9 ) = 0 \ ;$    имеет как раз два корня    $x \in \{ -3 , 0 \} \ .$

О т в е т :    $( \ a \ ; \ x_1 ; x_2 \ ) \in \ \{ \ ( \ 0 \ ; \ -6 ; 0 \ ) \ , \ ( \ 9 \ ; \ -3 ; 0 \ ) \ \} \ .$