Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения. Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции.
Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:
Геометрический смысл ДФР состоит в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b (рис. 4).
Рис. 4 График дифференциальной функции распределения принято называть кривой распределения. Свойства дифференциальной функции распределения: 1. Дифференциальная функция распределения неотрицательна, т. е. 2. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то
Дифференциальную функцию распределения часто называют законом распределения вероятностей непрерывных случайных величин. При решении прикладных задач сталкиваются с различными законами распределения вероятностей непрерывных случайных величин. Часто встречаются законы равномерного и нормального распределения. 1.5. Равномерное распределение непрерывной случайной величиныЗакон равномерного распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется при имитационном моделировании сложных систем на ЭВМ как первоначальная основа для получения всех необходимых статистических моделей. При этом, если специально не оговорен закон распределения случайных чисел, то имеют ввиду равномерное распределение. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция распределения имеет постоянное значение, т. е. f(x) = C. Так как
то
Отсюда закон равномерного распределения аналитически можно записать так:
График дифференциальной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис.5
Рис. 5 График дифференциальной функции равномерного распределения вероятностей. Интегральную функцию равномерного распределения аналитически можно записать так:
График интегральной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис. 6
Согласно древнерусским летописям, в 1022 году Мстислав пошел войной на касогов. Касожский князь Редедя вышел ему навстречу с войском и сказал: «Зачем губить дружину, схватимся мы сами бороться, одолеешь ты – возьмешь мое имение, жену, детей и землю мою, я одолею – возьму все твое» . Мстислав согласился и стал бороться с Редедей; боролись крепко и долго, Редедя был велик и силен. Мстислав ужу начал изнемогать и, видя беду, сказал: «Пречистая Богородица мне; если я его одолею, то построю церковь в твое имя». Сказавши это, он собрался с силами и ударил Редедю об землю, затем вынул нож и зарезал касожского богатыря; потом пошел в его землю, взял его имение, жену, детей и наложил дань на касогов. Обет был также исполнен: церковь Богородицы, построенная Мстиславом, стояла в Тмутаракани еще во времена летописца (начало XII века) .
После смерти великого киевского князя Владимира Святославовича (980 – 1015 гг. ) между его многочисленными сыновьями разгорелась ожесточенная борьба за обладание киевским престолом.
События 1024 года показывают, что наметились первые признаки раздробления древнерусского государства. Росло значение местных политических сил, с которыми, как с большой силой, приходилось считаться и князьям.
Мстислав овладел всем левобережьем Днепра с Черниговым, Переяславлем и Тмутараканью, а Ярославу остались Киев и правобережные земли. Более чем десятилетняя усобица утихла. «И начали жить мирно, в братолюбстве, - говорит летопись, - перестала усобица и мятеж, и была тишина великая в Земле» . Мстислав, оторвавшись от Киева, вел себя как представитель нового политического порядка – феодальной раздробленности.
Несмотря на обособленность Киева, Мстислав, тем не менее, принимает участие в военно-политических акциях Ярослава. В 1030 году братья с большим войском «повоевали» польские земли и возвратили так называемые Червенские города, утраченные Русью в период усобицы между Ярославом и Святополком Окаянным. Все это говорит о том, что после окончания усобиц в Руси тмутараканский владетель значительно расширил пределы своей политической активности далеко за границы княжества.
В 1036 году, разболевшись на охоте в черниговских лесах, скончался князь-богатырь Мстислав. После него не осталось наследников, и все левобережные земли снова соединились под властью Киева. Святослав владел Черниговым и землями, охватывающими огромное пространство от Чернигова до Рязани и Мурома, включая сюда и землю вятичей. Ему же досталась и далекая Тмутаракань. Всеволод получил самую южную землю, Переяславскую, волости по Волге, а также Ростов, Суздаль и Белоозеро. У остальных двух братьев оказались сравнительно небольшие владения и, естественно, они не могли конкурировать со старшими своими сородичами. Эти три старших брата образуют своеобразный «триумвират» и сообща поддерживают мир и единство огромного государства.
Святослав отправил в Тмутаракань своего единственного сына Глеба. Но против него выступил его двоюродный брат Ростислав Владимирович, обделенный своими дядьями при дележе Русской земли и тяготившийся всегдашней зависимостью от них. Как человека «доброго на рати» его манила далекая Тмутаракань, в степях вокруг которой проживали остатки разноплеменных народов, из числа которых отважному вождю всегда можно набрать храбрую дружину, и оружием добыть хорошую волость. И тем самым личной храбростью и предприимчивостью компенсировать тот неудачный расклад судьбы, который сложился после смерти Ярослава Мудрого. В 1064 году Ростислав вместе с другими искателями счастья или недовольными своим положением изгоняют Глеба из Тмутаракани и садится на его место.
350:7=5(ч)