Даны координаты вершин пирамиды ABCD :
A(−4;2;−1) , B(0;6;− 3) , C(−2;13;−11) , D(−4;4;0) .
Необходимо:
1. Записать векторыAB, AC , AD в ортонормальной системе {i, j, k} и найти модули этих векторов.
Вектор АВ = (0-(-4); 6-2; -3-(-1)) = (4; 4; -2) = 4i + 4j - 2k.
|AB| = √((4² + 4² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6.
Вектор BC = (-2-0; 13-6; -11-(-3)) = (-2; 7; -8) = -2i + 7j - 8k.
|BC| = √(((-2)² + 7² + (-8)²) = √(4 + 49 + 64) = √117 ≈ 10,81665.
Вектор АC = (-2-(-4); 13-2; -11-(-1)) = (2; 11; -10) = 2i + 11j - 10k.
|AC| = √√((2² + 11² + (-10)²) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15.
2. Найти угол между векторами AB и AC .
cos(AB_AC) = (4*2 + 4*11 + (-2)*(-10))/(6*15) = 72/90 = 4/5.
Угол равен arc cos(4/5) = 0,6435 радиан или 36,87 градуса.
3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB (4; 4; -2)
Точки A(−4;2;−1), D(−4;4;0). Вектор AD: (0; 2; 1).
Проекция b на a = (a · b )/|b|
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + 1 · (-2) = 0 + 8 - 2 = 6
Найдем модуль вектора:
|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(4² + 4² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6 .
Пр ba = 6/6 = 1.
4. Вычислить площадь грани ABC .
Для этого надо найти векторное произведение векторов АВ(4; 4; -2) и АС(2; 11; -10).
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.
i j k| i j
4 4 - 2| 4 4
2 11 -10| 2 11 = -40i - 4j + 44k + 40j + 22i - 8k =
= -18i + 36j + 36k = (-18; 36; 36).
Модуль равен √((-18)² + 36)² + 36²) = √2916 = 54.
Площадь S = (1/2)*54 = 27.
5. Найти объем пирамиды ABCD .
Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
ABxAC = -18 36 36
АD = 0 2 1
(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(0 + 72 + 36)| = 108/6 = 18.
