Question

Решить дифференциальное уравнение понижением степени: (y')^2+xy'+y=0 и другой пример: arcsin(x/y')=y'

Answer 1

$(y')^2+xy'+y=0$

Представим это уравнение так:
 $y'=- \frac{x}{2}- \frac{1}{2} \sqrt{x^2-4y}$

$\int\limits {(- \frac{x}{2}- \frac{1}{2} \sqrt{x^2-4y} )} \, dx = \int\limits { \frac{dy}{- \frac{x}{2}- \frac{1}{2} \sqrt{x^2-4y} } } \, dx =0$

$(-x)\cdot\ln|x+ \sqrt{x^2-4y} |+ \sqrt{x^2-4y} =0+C$

y=C

$\arcsin \frac{x}{y'} =y'\\ \sin y dy=xdx\\ \int\limits \sin y } \, dy= \int\limits {x} \, dx \\ -\cos y= \frac{x^2}{2}+C$