Уравнение равносильно совокупности уравнений: 4x-2=1 или x^2-4x+4a-a^2=0 уравнение определено на множестве: x>0,5 и x^2-4x+4a-a^2>=0 На [0,2] уравнение всегда имеет корень x=0.75 Для того, чтобы этот корень был единственным нужно чтобы: 1. уравнение x^2-4x+4a-a^2>=0 не имело решений вообще (отрицательный дискриминант) 2. имело единственный корень совпадающий с 0,75 3. имело один корень совпадающий с 0,75, а второй вне отрезка [0,2] 4. имело два корня и оба вне отрезка [0,2] Случай 1: невозможен так как D=4(a-2)^2 число неотрицательное Случай 2: D=0 значит (x-2)^2=0 откуда корень x=2 - второй корень в отрезке [0,2] следовательно a не равно 2. Случай 3: решая уравнение x^2-4x+4a-a^2=0 находим корни x1=a, x2=6-a, Если a=0.75 то первый корень совпадет с корнем 0,75, а второй 6-0,75=5,25 расположен вне отрезка [0,2] что нам и нужно Если x2=6-a=0,75, то а=6,75, следовательно первый корень x1=a=6.75 расположен вне отрезка [0,2] что нам и нужно. Следовательно оба этих значения подходят. Случай 4: должно выполняться x1<0.5 и x2>2 или наоборот x1>0.5 и x2<2. Рассмотрим их отдельно. Если x1<0.5 и x2>2 то a<0.5 и 6-a>2 откуда a<0.5 и 4>a получаем а<0.5 Если x1>0.5 и x2<2 то a>0.5 и 6-a<2 откуда a>0.5 и а>4. получаем а>4 Теперь собираем все полученные значения: a∈(-∞,0.5)∪{0.75}∪(4,∞)
Булос заявил, что первым вопросом мы должны найти бога, который не является богом случая, то есть является либо богом правды, либо богом лжи. Есть множество вопросов, которые могут быть заданы для достижения этой цели. Одна из стратегий — использование сложных логических связей в самом вопросе.
Вопрос Булоса: «Означает ли „da“ „да“, только если ты бог правды, а бог B — бог случая?» . Другой вариант вопроса: «Является ли чётным числом количество правдивых утверждений в следующем списке: ты — бог лжи, „ja“ обозначает „да“, B — бог случая? »
Решение задачи может быть упрощено, если использовать условные высказывания, противоречащие фактам (counterfactuals)[3][4]. Идея этого решения состоит в том, что на любой вопрос Q, требующий ответа «да» либо «нет» , заданный богу правды или богу лжи:
* Если я с тебя Q, ты ответишь «ja»?
результат будет «ja», если верный ответ на вопрос Q это «да» и «da», если верный ответ «нет» . Для доказательства этого можно рассмотреть восемь возможных вариантов:
* Предположим, что «ja» обозначает «да» , а «da» обозначает «нет» : o Мы спрашивали у бога правды, и он ответил «ja». Поскольку он говорит правду и верный ответ на вопрос Q — «ja», оно обозначает «да» . o Мы спрашивали у бога правды, и он ответил «da». Поскольку он говорит правду и верный ответ на вопрос Q — «da», оно обозначает «нет» . o Мы спрашивали у бога лжи, и он ответил «ja». Поскольку он всегда лжёт, поэтому на вопрос Q он ответит «da». То есть правильный ответ на вопрос «ja», который обозначает «да» . o Мы спрашивали у бога лжи, и он ответил «da». Поскольку он всегда лжёт, поэтому на вопрос Q он ответит «ja». То есть правильный ответ на вопрос «da», который обозначает «нет» . * Предположим, что «ja» обозначает «нет» , а «da» обозначает «да» : o Мы спрашивали у бога правды, и он ответил «ja». Поскольку он говорит правду и верный ответ на вопрос Q — «da», оно обозначает «да» . o Мы спрашивали у бога правды, и он ответил «da». Поскольку он говорит правду и верный ответ на вопрос Q — «ja», оно обозначает «нет» . o Мы спрашивали у бога лжи, и он ответил «ja». Поскольку он всегда лжёт, поэтому на вопрос Q он отвечает «ja». Но, так как он лжёт, верный ответ на вопрос Q — «da», что означает «да» . o Мы спрашивали у бога лжи, и он ответил «da». Поскольку он всегда лжёт, поэтому на вопрос Q он отвечает «da». Но, так как он лжёт, верный ответ на вопрос Q — «ja», что означает «нет» .
Используя этот факт можно задавать вопросы: [3]
* Спросим бога B: «Если я с у тебя „Бог А — бог случая? “, ты ответишь „ja“?». Если бог B отвечает «ja», значит, либо он бог случая (и отвечает случайным образом) , либо он не бог случая, а на самом деле бог A — бог случая. В любом варианте, бог C — это не бог случая. Если же B отвечает «da», то либо он бог случая (и отвечает случайным образом) , либо B не бог случая, что означает, что бог А — тоже не бог случая. В любом варианте, бог A — это не бог случая.
* Спросим у бога, который не является богом случая (по результатам предыдущего вопроса, либо A, либо C): «Если я с у тебя: „ты бог правды? “, ты ответишь „ja“?». Поскольку он не бог случая, ответ «ja» обозначает, что он бог правды, а ответ «da» обозначает, что он бог лжи. * Спросим у этого же бога «Если я у тебя с Бог B — бог случая? “, ответишь ли ты „ja“?». Если ответ «ja» — бог B является богом случая, если ответ «da», то бог, с которым ещё не говорили, является богом случая.
