Найдите велечину: 1) 12% которой равны 18 м ; 75 м ; 2) 8% которого равны 56 кг; 4 кг 3) 15% которого равны 12 см; 2,7 см 4) 24% который равны 9,6 т; 42 т; 5) 35% которого равны 21 км; 11,2 км 6) 75% которого равны 15 ц; 90 ц.
Значит, ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC (по II признаку: ∠1=∠2, ∠3=∠4 \displaystyle \angle 1=\angle 2,~~\angle 3=\angle 4~∠1=∠2, ∠3=∠4 и AC\displaystyle ACAC - общая.)
Ну вот, а раз ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC, то AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD и AD=BC\displaystyle AD=BCAD=BC – всё! – доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь ∠1+∠3=∠2+∠4\displaystyle \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4∠1+∠3=∠2+∠4 (смотри на картинку), то есть ∠A=∠C\displaystyle \angle A=\angle C∠A=∠C, а ∠B=∠D\displaystyle \angle B=\angle D∠B=∠D именно потому, что ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
Мы уже выяснили, что AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD. Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).
И теперь видим, что ΔAOB=ΔCOD\displaystyle \Delta AOB=\Delta CODΔAOB=ΔCOD - по II признаку (2\displaystyle 22 угла и сторона «между» ними).
Значит, BO=OD\displaystyle BO=ODBO=OD (напротив углов ∠2\displaystyle \angle 2∠2 и ∠1\displaystyle \angle 1∠1) и AO=OC\displaystyle AO=OCAO=OC (напротив углов ∠3\displaystyle \angle 3∠3 и ∠4\displaystyle \angle 4∠4 соответственно).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограмма
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
Почему? Хорошо бы понять, почему AD∥BC\displaystyle AD\parallel BCAD∥BC – этого хватит. Но смотри:
ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC по 1 признаку: AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD, AC\displaystyle ACAC- общая и ∠1=∠2\displaystyle \angle 1=\angle 2∠1=∠2 как накрест лежащие при параллельных AB\displaystyle ABAB и CD\displaystyle CDCD и секущей AC\displaystyle ACAC.
А раз ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC,
то ∠3=∠4\displaystyle \angle 3= \angle 4∠3=∠4 (лежат напротив AB\displaystyle ABAB и CD\displaystyle CDCD соответственно). Но это значит, что AD∣∣BC\displaystyle AD||BCAD∣∣BC (∠3\displaystyle \angle 3∠3 и ∠4\displaystyle \angle 4∠4 - накрест лежащие и оказались равны).
Ну вот и разобрались, .
Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD, AD=BC\displaystyle AD=BCAD=BC ⇒\displaystyle \Rightarrow⇒ ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.
Снова проведём диагональ AC\displaystyle ACAC.
Теперь ΔABC=ΔACD\displaystyle \Delta ABC=\Delta ACDΔABC=ΔACD просто по трём сторонам.
А значит:
∠1=∠2\displaystyle \angle 1=\angle 2∠1=∠2 ⇒AD∥BC\displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC⇒AD∥BC и ∠3=∠4\displaystyle \angle 3=\angle 4∠3=∠4 ⇒AB∥CD\displaystyle \Rightarrow AB\parallel CD⇒AB∥CD, то есть ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.∠A=∠C\displaystyle \angle A=\angle C∠A=∠C, ∠B=∠D\displaystyle \angle B=\angle D∠B=∠D ⇒\displaystyle \Rightarrow⇒ ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.
2α+2β=360∘\displaystyle 2\alpha +2\beta =360{}^\circ2α+2β=360∘ (ведь ABCD\displaystyle ABCDABCD – четырехугольник, а ∠A=∠C\displaystyle \angle A=\angle C∠A=∠C, ∠B=∠D\displaystyle \angle B=\angle D∠B=∠D по условию).
Значит, α+β=180∘\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circα+β=180∘. Ух! Но α\displaystyle \alphaα и β\displaystyle \betaβ – внутренние односторонние при секущей AB\displaystyle ABAB!
Поэтому тот факт, что α+β=180∘\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circα+β=180∘ означает, что AD∥BC\displaystyle AD\parallel BCAD∥BC.
А если посмотришь с другой стороны, то α\displaystyle \alphaα и β\displaystyle \betaβ – внутренние односторонние при секущей AD\displaystyle ADAD! И поэтому AB∥CD\displaystyle AB\parallel CDAB∥CD.
Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.AO=OC\displaystyle AO=OCAO=OC; BO=OD\displaystyle BO=ODBO=OD ⇒\displaystyle \Rightarrow⇒ ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.
Дано: S кат лод= 510 км t = 24-7 = 17 ч V кат = 19 км\ч
V лод - ?
Катер шел со скоростью 19 км\ч 17 часов. Расстояние,к оторое катер: S кат = 323 км.
Лодка 510 - 323 = 187 км
Лодка шла 17 часов и преодолела путь в 187 км.
V лод = 187\17 = 11 км\ч
ответ: скорость лодки была 11 км\ч
Схема: Рисуешь отрезок любой длинны. ||Сверху пишешь 510 км. Рисуешь <><---> над обоими вопрос на одном конце пишешь лодка на другом катер над катером пишешь 19 км\ч возле каждого из них пишешь 07:00 на концах в месте встречи стрелок пишешь 24:00 возле лодки пишешь V лод - ?
В любом параллелограмме:
1) Противоположные стороны равны2) Противоположные углы равны3) Диагонали делятся пополам точкой пересеченияДавай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Давай проведём диагональ AC\displaystyle ACAC. Что получится?Два треугольника: ABC\displaystyle ABCABC и ADC\displaystyle ADCADC.
Раз ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм, то :
AD∣∣BC\displaystyle AD||BCAD∣∣BC ⇒ ∠1=∠2\displaystyle \Rightarrow ~\angle 1=\angle 2⇒ ∠1=∠2 как накрест лежащиеAB∣∣CD \displaystyle AB||CD\AB∣∣CD ⇒ ∠3=∠4\displaystyle \Rightarrow ~\angle 3=\angle 4⇒ ∠3=∠4 как накрест лежащие.Значит, ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC (по II признаку: ∠1=∠2, ∠3=∠4 \displaystyle \angle 1=\angle 2,~~\angle 3=\angle 4~∠1=∠2, ∠3=∠4 и AC\displaystyle ACAC - общая.)
Ну вот, а раз ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC, то AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD и AD=BC\displaystyle AD=BCAD=BC – всё! – доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь ∠1+∠3=∠2+∠4\displaystyle \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4∠1+∠3=∠2+∠4 (смотри на картинку), то есть ∠A=∠C\displaystyle \angle A=\angle C∠A=∠C, а ∠B=∠D\displaystyle \angle B=\angle D∠B=∠D именно потому, что ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
Мы уже выяснили, что AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD. Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).И теперь видим, что ΔAOB=ΔCOD\displaystyle \Delta AOB=\Delta CODΔAOB=ΔCOD - по II признаку (2\displaystyle 22 угла и сторона «между» ними).
Значит, BO=OD\displaystyle BO=ODBO=OD (напротив углов ∠2\displaystyle \angle 2∠2 и ∠1\displaystyle \angle 1∠1) и AO=OC\displaystyle AO=OCAO=OC (напротив углов ∠3\displaystyle \angle 3∠3 и ∠4\displaystyle \angle 4∠4 соответственно).Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограммаНапомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.В значках это так:
AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD;AB∥CD\displaystyle AB\parallel CDAB∥CD ⇒\displaystyle \Rightarrow⇒ ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.Почему? Хорошо бы понять, почему AD∥BC\displaystyle AD\parallel BCAD∥BC – этого хватит. Но смотри:
ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC по 1 признаку: AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD, AC\displaystyle ACAC- общая и ∠1=∠2\displaystyle \angle 1=\angle 2∠1=∠2 как накрест лежащие при параллельных AB\displaystyle ABAB и CD\displaystyle CDCD и секущей AC\displaystyle ACAC.А раз ΔABC=ΔADC\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADCΔABC=ΔADC,
то ∠3=∠4\displaystyle \angle 3= \angle 4∠3=∠4 (лежат напротив AB\displaystyle ABAB и CD\displaystyle CDCD соответственно). Но это значит, что AD∣∣BC\displaystyle AD||BCAD∣∣BC (∠3\displaystyle \angle 3∠3 и ∠4\displaystyle \angle 4∠4 - накрест лежащие и оказались равны).Ну вот и разобрались, .
Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.AB=CD\displaystyle AB=CDAB=CD, AD=BC\displaystyle AD=BCAD=BC ⇒\displaystyle \Rightarrow⇒ ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.Снова проведём диагональ AC\displaystyle ACAC.
Теперь ΔABC=ΔACD\displaystyle \Delta ABC=\Delta ACDΔABC=ΔACD просто по трём сторонам.А значит:
∠1=∠2\displaystyle \angle 1=\angle 2∠1=∠2 ⇒AD∥BC\displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC⇒AD∥BC и ∠3=∠4\displaystyle \angle 3=\angle 4∠3=∠4 ⇒AB∥CD\displaystyle \Rightarrow AB\parallel CD⇒AB∥CD, то есть ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.∠A=∠C\displaystyle \angle A=\angle C∠A=∠C, ∠B=∠D\displaystyle \angle B=\angle D∠B=∠D ⇒\displaystyle \Rightarrow⇒ ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.
2α+2β=360∘\displaystyle 2\alpha +2\beta =360{}^\circ2α+2β=360∘ (ведь ABCD\displaystyle ABCDABCD – четырехугольник, а ∠A=∠C\displaystyle \angle A=\angle C∠A=∠C, ∠B=∠D\displaystyle \angle B=\angle D∠B=∠D по условию).Значит, α+β=180∘\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circα+β=180∘. Ух! Но α\displaystyle \alphaα и β\displaystyle \betaβ – внутренние односторонние при секущей AB\displaystyle ABAB!
Поэтому тот факт, что α+β=180∘\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circα+β=180∘ означает, что AD∥BC\displaystyle AD\parallel BCAD∥BC.
А если посмотришь с другой стороны, то α\displaystyle \alphaα и β\displaystyle \betaβ – внутренние односторонние при секущей AD\displaystyle ADAD! И поэтому AB∥CD\displaystyle AB\parallel CDAB∥CD.
Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.AO=OC\displaystyle AO=OCAO=OC; BO=OD\displaystyle BO=ODBO=OD ⇒\displaystyle \Rightarrow⇒ ABCD\displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.