Question

10 класс, ,(вариант 2). первое я сделала, но боюсь, сама буду долго разбираться и возиться, завтра к/р

Answer 1

2) $\sin(\pi - \alpha) = \frac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt2}{2}$ (1)

$\cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 1-2\sin^{2}\alpha$

Используя (1) получаем:

$\cos 2\alpha = 1-2\sin^{2}\alpha = 1-2\times(\frac{\sqrt2}{2})^{2} = 1-2\times \frac{1}{2}=0$

Конечно, можно было найти значение угла и сразу его подставить, но я привел универсальное решение.

ответ: cos2α=0

3) а)$\cot^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha-\frac{1}{\sin^{2}\alpha} = \frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}+\cos^{2}\alpha-\frac{1}{\sin^{2}\alpha} = \frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}-\frac{1}{\sin^{2}\alpha}+\cos^{2}\alpha=\frac{-(1-\cos^{2}\alpha)}{\sin^{2}\alpha}+\cos^{2}\alpha = \cos^{2}\alpha - 1 = -\sin^{2}\alpha$

Не забудь только cot(α) написать как ctg(α);

б) $\frac{\sin5\alpha-\sin\alpha}{2\cos3\alpha} \cot\alpha-1 = \frac{2\sin2\alpha\cos3\alpha}{2\cos3\alpha}\times\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-1=\sin2\alpha \times \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-1=2\times \sin\alpha\times\cos\alpha\times\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-1=2\cos^{2}\alpha-1 = 2\cos^{2}\alpha-(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha = \cos2\alpha$

Тут тоже cot(α) поменяй на ctg(α);

Здесь была применена формула разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2\sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2})$

4)$\cot^{2}\alpha -1 = (\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^{2}-1 = \frac{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos2\alpha}{\sin^{2}\alpha}$; И тут cot(α) ;)

5) a) $169\sin2x = 169\times 2\times \cos x \times \sin x$

$\sin x = \pm\sqrt{1-\cos^{2}x}=\pm\sqrt{1-\frac{25}{169} }=\pm\frac{12}{13}$; Так как -π<x<0, то синус отрицателен. Подставим имеющиеся данные обратно в формулу:

$169\sin2\alpha = 169\times 2\times (-\frac{5}{13})\times (-\frac{12}{13})=2\times 5\times 12=120$

б) $\sqrt2\cos(\frac{\pi}{4}-x) = \sqrt2 (\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x)=\cos x + \sin x$

$\sin x = \pm\sqrt{1-\cos^{2}x}=\pm\sqrt{1-\frac{9}{25} }=\pm\frac{4}{5}$

Так как π≤x≤2π, то синус отрицателен. Подставим обратно:

$\sqrt2 \cos(\frac{\pi}{4} -x) = \cos x+\sin x = -\frac{3}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{7}{5}$