"Центр тяжести тела
Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры вычислялась с двойного интеграла, задача об отыскании центра тяжести тела решается аналогичным с тройного интеграла."
z0 = integral(z*dx*dy*dz) / integral(dx*dy*dz)
причем по z пределы интегрирования от 0 до 2/3, поскольку поверхность sqrt(x^2+y^2)=2 пересекает конус 3z=sqrt(x^2+y^2) как раз при z=2/3
integral(z*dx*dy*dz) = integral(z*(pi*2^2-pi*9*z^2)*dz) = pi* integral((4z-9*z^3)*dz) = pi*(4z^2/2-9z^4/4) от 0 до 2/3 = pi*(4(2/3)^2/2-9*(2/3)^4/4) = 1.3962634
integral(dx*dy*dz) = integral((pi*2^2-pi*9*z^2)*dz) = pi* integral((4-9*z^2)*dz) = pi*(4z-9z^3/3) от 0 до 2/3 = pi*(4*(2/3)-9*(2/3)^3/3) = 5.5850536
z0 = 1.3962634/5.5850536 = 0.25
Sбок = 225 см²
Sполн = 225 см² + 12,5*√3 см² ≈ 246,65 см²
V = 93,75√3 см³ = 162,38 см³
Пошаговое объяснение:
Сторона треугольника в основании a = 5 см
Высота H = 15
Боковая поверхность, это три прямоугольника со сторонами a и H
Sбок = 3*a*H = 3*5*15 = 15*15 = 225 см²
В основании - правильный треугольник. Найдём его площадь.
Sосн = (1/2)a*h, где h - высота треугольника
По т. Пифагора a² = h² - (a/2)² => h = √(a² - a²/4) = a*√3/2
Sосн = (1/2)*a*a√3/2 = a²√3/4 = 25√3/4 см² ≈ 10,825 см²
Sполн = Sбок + 2Sосн (сверху и снизу призмы)
Sполн = 225 см² + 12,5*√3 см² ≈ 246,65 см²
Объём V = Sосн * H = 25√3/4 см² * 15 см = 93,75√3 см³ = 162,38 см³
