В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD.
Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BM=9, BC=15
---------------
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180º ( углы при параллельных прямых и секущей).
Cумма половин этих углов в ∆ СМВ равна 180º:2=90º, ⇒
∠СМВ=180º-90º= 90º.
В ⊿ СМВ отношение катета ВМ и гипотенузы СВ равно 3:5, из чего следует, что ⊿ СМВ–египетский, и СМ=12 ( можно проверить по т.Пифагора).
S ⊿ СМВ=СМ•BM:2=12•9:2=54
Биссектриса СМ отсекает от АВСD равнобедренный треугольник CDM ( накрестлежащие углы равны половине угла ВСD)⇒ СD=МD
На том же основании ∆ МАВ равнобедренный и АМ=АВ
Но СD=АВ ⇒ DM=AM, и стороны СВ и AD равны по 2 АВ.
Проведем МК || СD|| АВ. МК - медиана ⊿ СМВ и делит его на равные по площади треугольники.
В четырехугольниках СКМD и МКВА стороны равны и параллельны,⇒ они - ромбы.
Площадь каждого ромба равна площади ⊿ СМВ ( состоит из 2-х равных по площади половин ⊿ СМВ).
S ABCD=2S СМВ=2•54=108 (ед. площади).
А1.AB*AC=25*24=600 см2
А2.AB=AC=6СМ УГОЛ B БУДЕТ РАВЕН 180ГРАДУСОВ - 60 ГРАДУСОВ И ВСЕ ЭТО РАЗДЕЛИТЬ НА 2. УГОЛ В =60 ГРАДУСОВ. Т.К. ТРЕУГОЛЬНИК РАВНОСБЕДРЕННЫЙ, ТО УГЛЫ ПРИ ОСНОВАНИЕ РАВНЫ, ЗНАЧИТ УГОЛ В РАВЕН УГЛУ С И РАВЕН 60 ГРАДУСОВ. ИЗ ВСЕГО ЭТОГО СЛУДУЕТ ЧТО ТРЕУГОЛЬНИК РАВНОСТОРОННИЙ, СЛЕД. ПЕРИМЕТР РАВЕН СУММЕ ДЛИН ВСЕХ СТОРОН, ТО ЕСТЬ 6+6+6=18 СМ В КВАДРАТЕ
А3.S=(d1*d2):2=(14*6):2=42 см2
А4.Проведём в трапеции отрезки, соединяющие середины сторон. Получим четырёхугольник - параллелограмм. Стороны четырёхугольника параллельны диагоналям, значит этот четырёхугольник ромб, т.к. диагонали в равнобокой трапеции равны, но они ещё и препендикулярны, значит у ромба есть рямой угол. Т.е. это квадрат Диагонали квадрата равны. и равны высоте трапеции. Одна из диагоналей - средняя линия. А она равна высоте=16 см. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту 16*16=256 кв.см
B1.Поскольку речь идет о серединах оснований, то у полученных трапеций соответствующие основания равны как половинки оснований большой трапеции.
Высота у этих трапеций общая.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади, а значит равновелики.