Связь между радиусом вписанной окружности r и радиусом описанной окружности R определяется формулой: , где n- число сторон многоугольника. Отсюда их соотношение равно: Отношение площадей кругов равно отношению квадратов их радиусов: По условию задачи оно равно 0,75 или 3/4. Получаем Значение √3/2 соответствует углу 30°. Значит, 180°/n = 30°, отсюда n = 180/30 = 6. Если периметр многоугольника равен 12, а число сторон равно 6, то длина стороны составит a = 12/6 = 2 см. Радиус описанного круга для шестиугольника R = a = 2 см. Радиус вписанного круга r = a*(√3/2) = 2*(√3/2) = √3 см.
Пусть количество углов к. Если центр окружности соединить с концами стороны вписанного тр-ка, то половина угла при вершине равна 180/к Отношение радиусов вписанной и описанной оружности : равно cos( 180/k) Отношение площадей равно отношению квадратов радиусов сторон, cos( 180/k)= sqrt(3)/2 Значит 180/k=30 градусов. Следовательно k=6 Периметр многоугольника равен 12. Но в правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне и равен 2. Радиус вписанной окружности равен sqrt(3) sqrt - квадратный корень.
, где n- число сторон многоугольника.
