Question

Решить диф уравнени: y'' -7y' = (x-5)^2

Answer 1

Найдём дополнительное решение уравнения: y''-7y'=0
$\frac{d^2y}{dx^2} -7 \frac{dy}{dx} =0$
Предположим, что наше решение будет пропорционально$e^{kx}$, где $k-const$
$\frac{d^2(e^{kx})}{dx^2} -7 \frac{d(e^{kx})}{dx} =0$
Получаем уравнение:
 $k^2e^{kx}-7ke^{kx}=0\\ke^{kx}(k-7)=0\\k_1=0;\,\,\,\.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k_2=7$
При $k=0$ имеем константу $c_1$
При $k=7$ имеем $c_2e^{7x}$

Теперь найдем решение уравнения
$\frac{d^2y}{dx^2}-7 \frac{dy}{dx} =25-10x+x^2$
$y=a_1+a_2x^2+a_3x^3$, тоесть
 $\frac{d(a_1x+a_2x^2+a_3x^3)}{dx} -7 \frac{d^2(a_1x+a_2x^2+a_3x^3)}{dx^2} =25-10x+x^2\\2a_2+6a_3x-7a_1-14a_2x-21a_3x^2=25-10x+x^2\\ -21a_3x^2+(6a_3-14a_2)x+(2a_2-7a_1)=x^2-10x+25$

$2a_2-7a_1=25\\6a_3-14a_2=-10\\-21a_3=1$
Решая эту систему, мы получим:
$a_3=- \frac{1}{21} \\ a_2= \frac{34}{39} \\a_1=- \frac{1157}{343}$

Общее решение:
 $y=- \frac{x^3}{21}+ \frac{34x^2}{49} - \frac{1157x}{343}+c_1+c_2e^{7x}$