Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями. 1)y=4-x^2 и y=x+2

Answer 1

Для начала начертим чертёж и определим по нему точки пересечения линий. Вообще их можно найти и аналитически, решив уравнение
4-x²=x+2
-x²-x+2=0
D=(-1)²-4*(-1)*2=9
x=(1-3)/-2=1   x=(1+3)/-2=-2
Значит нижний предел интегрирования а=-2, верхний предел интегрирования b=1.
Если на отрезке [a;b] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций можно найти по формуле
$S= \int\limits^b_a {(f(x)-g(x))} \, dx$
4-x²>x+2
Находим площадь
$S= \int\limits^1_{-2} {(4-x^2-(x+2))} \, dx = \int\limits^1_{-2} {(2-x^2-x)} \, dx =(2x- \frac{x^3}{3}- \frac{x^2}{2}) |_{-2}^{1}$
$=2*1- \frac{1^3}{3}- \frac{1^2}{2} -(2*(-2)- \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2)} =$
$=2- \frac{1}{3}- \frac{1}{2}+4- \frac{8}{3}+2=8-3- \frac{1}{2}=4,5$ ед²

ответ: S=4,5 ед²