Question

Тело движется со скоростью v=(3t^2+6t-1)м/с найти путь пройденый за 3 секунды

Answer 1

S(t)=t³+3t²-t
s(3)=27+27-3=51

Answer 2

Пусть временная точка старта отсчета равна t0. При этом скорость в этот момент времени равна v(t0) = 3t0^2+6t0-1 м/с.
Путь, пройденный за 3 секунды, начиная с момента времени t0, равен определенному интегралу ∫(3t^2+6t-1)dt от t0 до t0+3.
Неопределенный интеграл равен t^3+3t^2-t+C.
Чтобы найти определенный интеграл, подставим границы:
((t0+3)^3 + 3(t0+3)^2 - (t0+3)) - (t0^3+3t0^2-t0) = 9t0^2+ 45t0+51.
Как видно, путь, пройденный за 3 секунды, зависит от начального момента времени. То есть задача неоднозначна. Добавим тогда условие, что t0=0 с. Тогда начальная скорость равна v(0)=-1 м/с, то есть тело двигалось в противоположном направлении сначала. Но путь - это длина всей траектории движения. То есть это расстояние, которое тело сначала в одном направлении до определенной точки, а затем от этой точки в другом направлении до конечной точки. То есть путь равен даже не этому выражению ∫(3t^2+6t-1)dt от t0 до t0+3, а этому: ∫|3t^2+6t-1|dt от t0 до t0+3.
Тогда на промежутке от 0 до 3 секунд (раз условились, что t0=0c) находим момент времени, когда v = 0. 
3t^2+6t-1 = 0
D = 6^2 - 4*3*(-1)=48
t=(-6+-√48)/(2*3) = -1+-2√3/3
То есть t=2√3/3-1∈[0;3]
Тогда путь равен сумме |((2√3/3-1)^3 + 3*(2√3/3-1)^2 - (2√3/3-1)) - (0^3+3*0^2-0)| + |(3^3 + 3*3^2 - 3) - ((2√3/3-1)^3+3*(2√3/3-1)^2-(2√3/3-1))| = 32√3/9+45 м...