Question

На столе лежат 60 монет. два игрока по очереди берут со стола 1, 2, 3 или 4 монеты. выигравшим считается тот, кто возмёт последнюю монету. кто выиграет при правильной игре ( тот, кто начинает игру, или, наоборот, второй игрок) и почему? можно ли выписать девять чисел по кругу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так, чтобы сумма никаких двух соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Answer 1

Задача 1. Введем функцию f(n), которая будет в качестве аргумента принимать целое неотрицательное число и принимать значения 1 или 2. 1 в случае, если при n имеющихся в начале игры монетах побеждает первый игрок, и 2 в случае, если побеждает в итоге второй игрок.
Будем набирать значения этой функции последовательно, начиная с n=1.
При n=1 первому игроку логично взять 1 монету и выиграть. При n=2, 3 и 4 то же самое. То есть f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=1.
Теперь рассмотрим n=5. В этом случае как бы первый игрок ни пошел, выиграет второй игрок, потому что для второго игрока остаются монеты, которые он может все забрать. То есть f(5)=2.
Теперь рассмотрим n=6. Первый игрок может поставить второго игрока в такое же положение, в каком он был, когда игра начиналась с 5 монет. То есть, взяв одну монету, первый игрок оставляет 5 монет второму игроку. Второй игрок же не может их все взять. В итоге побеждает первый. То есть f(6)=1. Аналогично и для 7,8,9 - первому игроку надо брать соответственно 2,3 и 4 монеты, чтобы поставить второго игрока в положение при n=5.
Суть в том, что если у первого игрока изначально есть n монет и если он может поставить второго игрока в проигрышную ситуацию, если уберет от 1 до 4 монет, то выиграет 1 игрок. В противном случае выиграет второй. То есть если хотя бы одно из значений f(n-1), f(n-2), f(n-3) и f(n-4) равно 2, то побеждает первый игрок, то есть f(n)=1. Иначе f(n)=2.
Основываясь на такой зависимости, можно выписать несколько первых элементов:
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2
Зависимость получилась периодическая с периодом 5: 1, 1, 1, 1, 2. То есть каждое 5-е значение проигрышное для первого игрока. Это и логично, поскольку большего количества единиц подряд, чем 4, быть не может. Таким образом, f(60)=2 - победит второй игрок.
Задача 2.
Тут можно построить дерево. Его корнем пусть будет 1. Дальше от него могут идти значения 3 и 7, поскольку другие значения в сумме с 1 будут давать числа, кратные 3, 5 или 7. И так далее. В итоге дерево, наверное, не сильно большое получится, но мне было лень это делать, и я написал рекурсивный перебор и получил такие ответы:
1 3 8 5 6 2 9 4 7
1 7 4 9 2 6 5 8 3