Question

Используя свойства монотонности функций, решите три уравнения

Answer 1

1) Сделаем замену $x^2=t\geqslant0$. После ней уравнение примет вид $\sqrt{t+5}+\sqrt{2t-1}=6$
Функция, стоящая в левой части, монотонно возрастает как сумма двух монотонно возрастающих функций, поэтому она принимает каждое своё значение только один раз, и у уравнения (относительно t) может быть не более одного корня. Подбором находим t = 4.
$x^2=4$
ответ. $\boxed{x=\pm2}$

2) Домножим всё на x, перенесём в одну часть:
$x^4-5x-6=0$
Рассматриваем производную функции, стоящей в левой части:
$(x^4-5x-6)'=4x^3-5$
Производная отрицательна при $x$, положительна при $x\sqrt[3]{5/4}$, поэтому функция на этих промежутках монотонно убывает и возрастает соответственно, и на каждом из этих промежутков может быть не более одного корня уравнения. Подбором находим x = -1, x = 2; других корней быть не может.
ответ. x = -1, x = 2

3) Для того, чтобы корень существовал, требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно, а при таких x знаменатель строго положителен. При $x \geqslant -3$ функция, стоящая в левой части, монотонно убывает, значит, у уравнения есть не более одного корень. Корень опять можно угадать, это x = 1.
ответ. x = 1.