Question

Много ! в прямоугольгом треугольнике высота h=2 и делит гипотинузу на два отрезка, разность которых равна 3 см. найдите эти отрезки и найдите площадь вписанного круга. напишите подробно.

Answer 1

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.
Пусть один и отрезков x, тогда другой — x + 3
$2=\sqrt{x(x+3)}$
$4=x^2+3x$
$x^2+3x-4=0$
$x_1=1$
$x_2=-4$ - не уд. условию
Значит отрезки равны 1 см и 4 см 

Высота делит треугольник еще на 2 треугольника. Для каждого из них запишем теорему Пифагора и найдем катеты большого треугольника.
$x^2=1^2+2^2$
$x=\pm\sqrt5$
Значит первый катет (корень из 5) см
$x^2=4^2+2^2$
$x=\pm2\sqrt5$
Значит второй катет (2 корня из 5) см

Радиус вписанной окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы.
Гипотенуза большого треугольника 1+4=5см
$r = 2\sqrt5+\sqrt5-5=3\sqrt5-5$

ответ: $3\sqrt5-5$ см