Question

При каких значениях параметра а уравнение (a+3)*25^x+4*5^x+(1-a)=0 имеет единственное решение? должно получиться (-бесконечность; -3)u(1; +бесконечность), никак не сходится, ,

Answer 1

$(a+3)* 25^{x}+4* 5^{x}+(1-a)=0 (a+3)*( 5^{x} ) ^{2} +4* 5^{x}+(1-a)=0$
показательное квадратное уравнение, замена переменной:
$5^{x} =t, t\ \textgreater \ 0$
(a+3)*t²+4t+(1-a)=0
D=4²-4*(a+3)*(1-a)=4a²+8a+4=4*(a+1)²
1. по условию уравнение имеет единственное решение.
уравнение имеет единственное решение, если D=0
4*(a+1)²=0. a+1=0
a=-1
проверка:
$(-1+3)* 25^{x} +4* 5^{x} +(1-(-1))=0 2*( 5^{x}) ^{2} +4* 5^{x} +2=0 5^{x} =t, t\ \textgreater \ 0$
2t²+4t+2=0
2*(t²+2t+1)²=0, 2*(t+1)²=0
t=-1 посторонний корень
корней нет.
2. a+3=0, a=-3
$(-3+3)* 25^{x}+ 4 *5^{x} +(1-(-3))=0 4* 5^{x} +4=0, 4* 5^{x}=-4$
корней нет, => a<-3
3. 1-a=0, a=1
$(1+3)* 25^{x}+4* 5^{x} +(1-1)=0 4* 25^{x} +4* 5^{x}=0 4* 5^{x} *( 5^{x} +1)=0 4* 5^{x} =0$
нет решений
$5^{x}+1=0$нет решений,=>
a>1
ответ: при а∈(-∞;-3)∪(1;∞) уравнение имеет единственной решение

Answer 2

$(a+3)25^x+4*5^x+(1-a)=0; (*) \\ t=5^x \\ (a+3)t^2+4t+1-a=0; (**)$
ОЧЕНЬ ПОДРОБНО РАСПИСЫВАЮ.
Уравнение (*) будет иметь один корень в двух случаях. 
1 случай. Уравнение (**) имеет один положительный корень.
2 случай. Уравнение (**) имеет два корня, но один из них положительный, а другой отрицательный.
Разбираем первый случай. Тут все просто. Один корень будет при D=4(a+1)²=0, либо при a+3=0. Получаем значения а=-1 и а=-3. Но корень при таких значениях будет отрицательным, поэтому они нам не подходят.
Второй случай. Чтобы корни были разных знаков необходимо и достаточно, чтобы выполнялась совокупность двух систем
{a+3>0
{f(0)=1-a<0
и
{a+3<0
{f(0)=1-a>0
ответ: a ∈ (-oo; -3)∪(1;  +oo)
Все просто, и не нужно тут никаких китайских хитростей и попыток подогнать решение под ответ...