Question

Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. обработанные детали складываются в один ящик. производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной равна:

Answer 1

Введём следующие обозначения:
$D_i$ - событие "вытащена деталь под номером i".
$A$ - событие "вытащенная деталь бракована".
$p_i$ - соответствующие вероятности брака.
$v_i$ - производительности станков.
Будем рассматривать ситуацию, когда произведено достаточно много деталей.
По условию известно следующее:
$p_i = \frac{i+1}{100} \\ v_1 = 3v_2 \\ v_2 = 2v_3$
Сразу заметим, что $\sum_{i=1}^3v_i = 6v_3 + 2v_3 + v_3 = 9v_3$
Пусть единица времени. Тогда всего в ящике находится $\sum_{i=1}^3v_i = v_1+v_2+v_3$ деталей, а вероятности событий $D_i$ вычисляются как отношения количества подходящих деталей ко всем деталям в ящике, то есть
$\mathbb{P}(D_i) = \frac{v_i}{\sum\limits_{i=1}^3v_i} \ \ (1)$
По формуле полной вероятности имеем:
$\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^3\mathbb{P}(A|D_i)\mathbb{P}(D_i) = \\ \sum p_i\cdot\mathbb{P}(D_i) =^{(1)}\sum p_i\cdot\frac{v_i}{\sum v_i} = \\ p_1 \cdot \frac{6v_3}{9v_3} + p_2 \cdot \frac{2v_3}{9v_3} + p_3 \cdot \frac{v_3}{9v_3} = \\ 0.02 \cdot \frac23 + 0.03 \cdot \frac29 + 0.04 \cdot \frac19 = \frac{11}{450}.$