Question

Решить эти две . заранее ! 1) в трапеции длина средней линии равна 13, а углы при большем основании равны 30 и 60. длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 7. найдите длину меньшего основания. 2) длины боковых сторон трапеции равны 5 и 13. известно, что в трапецию можно вписать окружность. средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 7: 11. найдите длину меньшего основания данной трапеции.

Answer 1

1)  Трапеция АВСД. <A=30° , <B=60° , средняя линия = 13 см, 
      РМ=7 см, где Р- середина основания ВС, М-  середина основания АД.
  Так ка средняя линия = 13 см, то сумма оснований равно 13·2=26 см
(АД+ВС):2=13  ⇒  АД+ВС=26
Проведём две прямые из точки Р , параллельные боковым сторонам.
Это будут прямые РТ║АВ и РН║СД.
ΔМТН:  ∠РТМ=∠А=30°  ,  ∠РНМ=∠Д=60°  ⇒∠ТРН=90°  ⇒
РМ- медиана, проведённая из прямого угла  ⇒
РМ=МТ=МН=7 ( по условию)
ТН=7+7=14 (см)
АТ=ВР=РС=НД  ⇒АД-(АТ+НД)=АД-ВС=ТН=14
  {АД+ВС=26       {2АД=26+14=40   {АД=20
  {АД-ВC=14        {2ВС=26-14=12    {ВС=6  
ответ: ВС=6 см.

2)  АВСД - трапеция, АВ=13 см,  ВД=5 см.
     MN - средняя линия , S(MBCN):S(АMNД)=7:11
 По условию в трапецию можно вписать окружность, значит сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим АД=у, ВС=х, тогда 
АД+ВС=АВ+СД
х+у=5+13=18
Средняя линия MN=18^2=9 (cм)
Так как средняя линия трапеции делит пополам и её высоту, то высотs трапеций АМNД и MBCN  равны, обозначим их через h.
S(MBCN)=(MN+BC):2·h=(9+х):2·h
S(AMNД)=(АД+MN):2·h=(9+у):2·h
7:11=(9+x):(9+y)  ⇒11(x+9)=7(y+9)
{11x-7y=-36    {11x-7·(18-x)=-36  {11x+7x=90  {18x=90  {x=5
{x+y=18          {y=18-x                  {y=18-x         {y=18-x   {y=13

ответ:  ВС=5.