Question

Решите уравнение (|x^2-4x|+3)/(x^2+ |x-5|)=1

Answer 1

$\frac{|x^2-4x|+3}{x^2+|x-5|} =1$
Поскольку x² + |x - 5| > 0 при любых значениях х, исходное уравнение можем переписать как: |x² - 4x| + 3 = x² + |x - 5|.

x² - 4x = 0              x - 5 = 0
x·(x - 4) = 0            x = 5
x = 0, x = 4

Рассмотрим уравнение для каждого из промежутков, на которых выражения под модулями сохраняют свой знак.

Если x < 0:
x² - 4x + 3 = x² - x + 5
3x = -2
x₁ = -2/3
x₁ ∈ (-∞; 0), т. е. является корнем
 
Если 0 ≤ x < 4:
4x - x² + 3 = x² - x + 5
2x² - 5x + 2 = 0
D = 25 - 16 = 9
x₂ = $\frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$
x₃ = $\frac{5+3}{4} = 2$
x₂, x₃ ∈ [0; 4), т. е. являются корнями

Если 4 ≤ x < 5:
x² - 4x + 3 = x² - x + 5
3x = -2
x₄ = -2/3
x₄ ∉ [4; 5), т. е. не является корнем

Если x ≥ 5:
x² - 4x + 3 = x² + x - 5
5x = 8
x₅ = 8/5
x₅ ∉ [5; +∞), т. е. не являятся корнем

ответ: x ∈ {-2/3; 1/2; 2}.