Question

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущей. сумма всех членов последовательности равна 5292. а) может ли последовательность состоять из двух членов? б)может ли последовательность состоять из трех членов? в)какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Answer 1

а) Число 5292 при разложении на простые множители дает

5292=2*2*3*3*3*7*7.

Предположим, что последовательность состоит из двух членов. Если обозначим через a наименьшее число, то набольшее будет равно 10a. Получаем уравнение

а+10а=5292

11а=5292

Как видим, числа 11 и 5292 взаимно простые, т.к. 11=1*11 не содержит множителей из 5292, а значит уравнение неразрешимо в целых значениях.

ответ: нет.

б) Для трех членов имеем уравнение вида

а+10а+а=5292

12а=5292

и число 12 при разложении на простые множители дает

12=2*2*3,

является делителем числа 5292, следовательно, последовательность может состоять из трех членов, например,

441+10*441+441.

ответ: да.

в) Число 52927424 можно представить в виде

(5292-1)/11=481

это означает, что его можно представить в виде сумм чисел

(10+1)+(10+1)+…

с последним значением 1. Таким образом, общее число членов будет равно 481*2+1.

ответ: 963.