Хорошо, давайте посмотрим на данную функцию и проведем ее исследование в соответствии с общей схемой.
1. Найдите область определения функции:
Областью определения будет вся числовая прямая, так как переменная x не имеет никаких ограничений.
2. Найдите значение функции в нуле:
Подставляем x = 0 в уравнение функции:
y = 12*0 - 0^3 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5
Таким образом, значение функции в нуле равно 5.
3. Найдите точки пересечения с осями координат:
Для этого решим уравнение y = 12x - x^3 + 5, приравняв x к 0, чтобы найти точку пересечения с осью ординат, и приравняв y к 0, чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс.
- Для x-координаты:
12x - x^3 + 5 = 0
Попросту рассмотрим последовательно движение графика функции с помощью производной функции
12 - 3x^2 = 0
3x^2 = 12
x^2 = 4
x = ±√4 = ±2
Таким образом, функция пересекает ось абсцисс в точках (-2, 0) и (2, 0).
- Для y-координаты:
12x - x^3 + 5 = 0
12x = x^3 - 5
Так как деление на 0 запрещено, то x не может быть равна 0 и можем сократить на x:
12 = x^2 - 5/x
12/x = x - 5/x
12 = (x^2 - 5)/x
12x = x^2 - 5
x^2 - 12x - 5 = 0
Для решения этого уравнения мы использовали квадратное уравнение, которое не может быть решено простым способом. Так что применим квадратную формулу для нахождения x:
x = (-(-12) ± √((-12)^2 - 4*1*(-5))) / (2*1)
x = (12 ± √(144 + 20)) / 2
x = (12 ± √164) / 2
x = 6 ± √41
Таким образом, функция пересекает ось ординат в точках (6 + √41, 0) и (6 - √41, 0).
4. Найдите точки экстремума:
Для поиска экстремумов функции найдем ее первую производную и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 12 - 3x^2
12 - 3x^2 = 0
3x^2 = 12
x^2 = 4
x = ±√4 = ±2
Таким образом, экстремумы функции находятся в точках (-2, f(-2)) и (2, f(2)).
5. Постройте график функции:
Для построения графика функции, используем все найденные точки и особенности функции:
- Отметим точки пересечения с осями координат: (-2, 0), (2, 0), (6 + √41, 0), (6 - √41, 0).
- Отметим точку экстремума: (-2, f(-2)), (2, f(2)).
- Для отбора текущих "отозврений" выберем значения x на величину менее 2. Возьмем, например, x = 0, x = -1, x = 1.
Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы получить соответствующие значения y:
Для x = 0:
y = 12*0 - 0^3 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5
Для x = -1:
y = 12*(-1) - (-1)^3 + 5 = -12 - (-1) + 5 = -12 + 1 + 5 = -6
Для x = 1:
y = 12*1 - 1^3 + 5 = 12 - 1 + 5 = 16
Отметим на графике полученные точки и проведем гладкую линию, проходящую через них.
Итак, мы исследовали функцию y = 12x - x^3 + 5 и построили ее график, отметив особые точки и проведя гладкую линию, чтобы показать форму функции.
1. Найдите область определения функции:
Областью определения будет вся числовая прямая, так как переменная x не имеет никаких ограничений.
2. Найдите значение функции в нуле:
Подставляем x = 0 в уравнение функции:
y = 12*0 - 0^3 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5
Таким образом, значение функции в нуле равно 5.
3. Найдите точки пересечения с осями координат:
Для этого решим уравнение y = 12x - x^3 + 5, приравняв x к 0, чтобы найти точку пересечения с осью ординат, и приравняв y к 0, чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс.
- Для x-координаты:
12x - x^3 + 5 = 0
Попросту рассмотрим последовательно движение графика функции с помощью производной функции
12 - 3x^2 = 0
3x^2 = 12
x^2 = 4
x = ±√4 = ±2
Таким образом, функция пересекает ось абсцисс в точках (-2, 0) и (2, 0).
- Для y-координаты:
12x - x^3 + 5 = 0
12x = x^3 - 5
Так как деление на 0 запрещено, то x не может быть равна 0 и можем сократить на x:
12 = x^2 - 5/x
12/x = x - 5/x
12 = (x^2 - 5)/x
12x = x^2 - 5
x^2 - 12x - 5 = 0
Для решения этого уравнения мы использовали квадратное уравнение, которое не может быть решено простым способом. Так что применим квадратную формулу для нахождения x:
x = (-(-12) ± √((-12)^2 - 4*1*(-5))) / (2*1)
x = (12 ± √(144 + 20)) / 2
x = (12 ± √164) / 2
x = 6 ± √41
Таким образом, функция пересекает ось ординат в точках (6 + √41, 0) и (6 - √41, 0).
4. Найдите точки экстремума:
Для поиска экстремумов функции найдем ее первую производную и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 12 - 3x^2
12 - 3x^2 = 0
3x^2 = 12
x^2 = 4
x = ±√4 = ±2
Таким образом, экстремумы функции находятся в точках (-2, f(-2)) и (2, f(2)).
5. Постройте график функции:
Для построения графика функции, используем все найденные точки и особенности функции:
- Отметим точки пересечения с осями координат: (-2, 0), (2, 0), (6 + √41, 0), (6 - √41, 0).
- Отметим точку экстремума: (-2, f(-2)), (2, f(2)).
- Для отбора текущих "отозврений" выберем значения x на величину менее 2. Возьмем, например, x = 0, x = -1, x = 1.
Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы получить соответствующие значения y:
Для x = 0:
y = 12*0 - 0^3 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5
Для x = -1:
y = 12*(-1) - (-1)^3 + 5 = -12 - (-1) + 5 = -12 + 1 + 5 = -6
Для x = 1:
y = 12*1 - 1^3 + 5 = 12 - 1 + 5 = 16
Отметим на графике полученные точки и проведем гладкую линию, проходящую через них.
Итак, мы исследовали функцию y = 12x - x^3 + 5 и построили ее график, отметив особые точки и проведя гладкую линию, чтобы показать форму функции.