Question

1. найдите сумму действительных корней уравнения: (x^2+23x+23)(x^2+x+23)=23x^2

Answer 1

(x²+23x+23)(x²+x+23)=23x²
x⁴+x³+23x²+23x³+23x²+23·23x+23x²+23x+23·23-23x²=0
x⁴+24x³+46x²+23·24x+23·23=0
x⁴+24x³+46x²+552x+529=0
В левой части уравнения все коэффициенты целочисленные. В соответствии со следствием теоремы Безу, если уравнение имеет хотя бы один действительный корень, он целочисленный и должен находиться среди делителей свободного члена.
529 = 1·23·23, т.е. корнями могут быть числа -23, -1, 1, 23
Проверим их подстановкой.
x⁴+24x³+46x²+552x+529 при х=-23 даст 0 - первый корень найден.
x⁴+24x³+46x²+552x+529 при х=-1 даст 0 - второй корень найден.
x⁴+24x³+46x²+552x+529 при х=1 даст 1152 - это не корень
x⁴+24x³+46x²+552x+529 при х=23 даст 609408 - это не корень.
Итак, мы нашли два корня.
Теперь понизим степень левой части, выполнив её деление на
(x+23)(x+1) = x²+x+23x+23 = x²+24x+23.
Деление выполняем по схеме Горнера ("уголком") - см. вложение.
Осталось найти корни уравнения x²+23=0
x² =-23 - действительных корней нет.

Итак, найдено два действительных корня, -23 и -1, их сумма равна -24

Answer 2

Поделим обе части на x²:
$\frac{(x^2+23x+23)(x^2+x+23)}{x^2} =23 \\ \frac{(x^2+23x+23)}{x}* \frac{x^2+x+23}{x} =23 \\ (x+ \frac{23}{x} +23)(x+\frac{23}{x} +1)=23 \\ x+ \frac{23}{x} =t \\ (t+23)(t+1)=23 \\ t^2+24t=0 \\ t=0 \\ t=-24 \\ x+ \frac{23}{x}=0 \\ x+ \frac{23}{x}=-24 \\ x=-23 \\ x=-1$
Сумма действительных корней: -24.