Question

Найдите все значения а при которых уравнение имеет ровно два решения: ( |х-7| - |x-a| )в2 - 13а( |x-7| - |x-a| ) + 30a в2 + 21а - 9 = 0

Answer 1

Разложим левую часть на множители.
$(|x-7| - |x-a|)^2 - 13a( |x-7| - |x-a| ) + 30a^2+ 21a - 9 = 0 \\ D=169a^2-4(30a^2+21a-9)=49a^2-84a+36=(7a-6)^2 \\ (|x-7|-|x-a|-10a+3)(|x-7|-|x-a|-3a-3)=0$
Уравнения |x-7|-|x-a|=10a-3 и |x-7|-|x-a|=3a+3 либо имеют одно решение, либо имеют бесконечно много решений, либо вообще решений не имеют. Нас устраивает случай когда каждое из этих уравнений имеет одно решение. Легко понять, что для существования этого единственного решения модули должны раскрываться с разными знаками.
Пусть a>7, тогда, раз модули модули должны раскрыться с разными знаками, x∈[7; a). Разбираемся с первым уравнением, модули раскроются так:
x-7-a+x=10a-3
2x=11a+4
x=(11a+4)/2. Этот x должен принадлежать рассматриваемому промежутку, получаем систему:
{a>7
{7≤(11a+4)/2<a
Решений нет, а значит сразу переходим к случаю a<7 (a=7 можно пропустить, так как такой а, очевидно, нам не подходит)
Нужный промежуток: x∈[a; 7)
Раскрываем модули, преобразовываем и получаем 
x=(10-9a)/2
Решаем систему:
{a<7
{a≤(10-9a)/2<7
Получаем: -4/9<a≤10/11
Переходим ко второму уравнению, раскрываем модули на том же промежутке для a<7 и получаем x=2-2a. Решаем систему:
{a<7
{a≤2-2a<7
Получаем -5/2<a≤2/3. Пересекаем решения и получаем:
-4/9<a≤2/3
Проверь все сам, я мог где то и ошибиться.