Обозначим через A, B, C - множества трёхзначных чисел, которые делятся на 2, 3 и 5 соответственно. A¯, B¯, C¯ - которые не делятся на 2, 3 и 5 соответственно. Через n(A) обозначают число элементов множества А и т.д. Найти n(A¯∩B¯∩C¯). Всего трехзначных чисел 999-99=900.
n(A¯∩B¯∩C¯)=900-n(A∪B∪C).
Множества А,В и С - пересекаются. Применяем формулу включений и исключений n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)=
n(A¯∩B¯∩C¯)=900-n(A∪B∪C)=900-660=240 трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5. О т в е т. 240 трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.
Давайте посмотрим, на что они могут заканчиваться. Ясно, что это цифры 1, 3, 7, 9 (отсюда можно уже не рассматривать делимость на 2 и на 5. Эти числа мы исключили). Остались только те, что не кратны 2 и не кратны 5. Таких чисел 10×9×4 = 360 (уже лучше, чем все трехзначные)
Хорошо. Дальше в сумме все цифры не должны давать число, кратное 3.
Сумма двух оставшихся чисел максимум составляет 18.
Расмотрим 4 случая
1) **1
Сумма первых двух чисел не может принимать значения 2, 5, 8, 11, 14, 17.
A¯, B¯, C¯ - которые не делятся на 2, 3 и 5 соответственно.
Через n(A) обозначают число элементов множества А и т.д.
Найти n(A¯∩B¯∩C¯).
Всего трехзначных чисел 999-99=900.
n(A¯∩B¯∩C¯)=900-n(A∪B∪C).
Множества А,В и С - пересекаются.
Применяем формулу включений и исключений
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)=
n(A)=450 чисел кратных 2 (900:2=450)
n(B)=333 чисел кратных 3 (900:3=300)
n(C)=180 чисел кратных 5 (900:5)=180)
n(A∩B)=150 чисел, кратных 6
n(B∩C)=60 чисел, кратных 15
n(A∩C)=90 чисел, кратных 10
n(A∩B∩C)=30 чисел, кратных 30.
n(A∪B∪C)= 450+300+180 -150 -60 - 90 + 30=660
n(A¯∩B¯∩C¯)=900-n(A∪B∪C)=900-660=240 трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.
О т в е т. 240 трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.