Question

Система: x^log7(y) +y^ log7(x) =98; log7(x)+ log7(y)=3

Answer 1

Свойство: $a^{\log_cb}=b^{\log_ca}$
$\begin{cases} & \text{ } y^{\log_7x}+y^{\log_7x}=98 \\ & \text{ } \log_7x+\log_7y=3 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } 2y^{\log_7x=98} \\ & \text{ } \log_7x+\log_7y=3 \end{cases}\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow\begin{cases} & \text{ } y^{\log_7x}=49 \\ & \text{ } xy=7^3 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \log_7x\log_7y=\log_749 \\ & \text{ } xy=343 \end{cases}\Rightarrow$$\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \log_7( \frac{343}{y})\log_7y=2 \\ & \text{ } x= \frac{343}{y} \end{cases}$

Дальше все по свойству
  $(\log_7343-\log_7y)\log_7y=2\\ (3-\log_7y)\log_7y=2$

Пусть $\log_7y=t$, тогда будем иметь
   $(3-t)t=2\\ -t^2+3t-2=0|\cdot(-1)\\ t^2-3t+2=0$
По т. Виета: $t_1=1;\,\,\,\, t_2=2$

Обратная замена
  $\log_7y=1\\ y_1=7\\ x_1= \frac{343}{y_1} =49$

$\log_7y=2\\y_2=49\\x_2= \frac{343}{y_2}=7$

ответ: $(49;7),\,\,\,(7;49).$