Question

|x^2 -2| < 4x+3 . решение и в ответ записать наибольшее целое решение

Answer 1

$|x^2 -2| \ \textless \ 4x+3$

Неравенство вида $|f(x)|\ \textless \ g(x)$ сводится к двойному неравенству $-g(x)\ \textless \ f(x)\ \textless \ g(x)$

$-(4x+3)\ \textless \ x^2 -2 \ \textless \ 4x+3$
$\left\{\begin{array}{l} -(4x+3)\ \textless \ x^2 -2 \\ x^2 -2 \ \textless \ 4x+3 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} -4x-3\ \textless \ x^2 -2 \\ x^2 -2 \ \textless \ 4x+3 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} x^2+4x +3-2\ \textgreater \ 0 \\ x^2 -4x-2-3 \ \textless \ 0 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} x^2+4x +1\ \textgreater \ 0 \\ x^2 -4x-5 \ \textless \ 0 \end{array}$

Решаем первое неравенство:
$x^2+4x +1\ \textgreater \ 0 \\\ x^2+4x +1=0 \\\ D_1=2^2-1\cdot1=3 \\\ x=-2\pm \sqrt{3}$
Решением являются интервалы, расположенные левее меньшего и правее большего корня, так как решается неравенство >0, а парабола направлена ветвями вверх:
$x_1\in(-\infty;-2- \sqrt{3} )\cup(-2+ \sqrt{3} ;+\infty)$

Решаем второе неравенство:
$x^2 -4x-5\ \textless \ 0 \\\ x^2 -4x-5=0 \\\ D_1=(-2)^2-1\cdot(-5)=9 \\\ x= 2\pm 3; \ x_1=-1; \ x_2=5$
Решением является интервал, расположенный между корнями, так как решается неравенство <0, а парабола направлена ветвями вверх:
$x_2\in(-1;5)$

Тогда, получим систему:
$\left\{\begin{array}{l} x_1\in(-\infty;-2- \sqrt{3} )\cup(-2+ \sqrt{3} ;+\infty) \\ x_2\in(-1;5) \end{array}$

Так как решение системы должно удовлетворять обоим условиям, а интервал $(-\infty;-2- \sqrt{3} )$ не удовлетворяет второму условию, то система упрощается:
$\left\{\begin{array}{l} x_1\in(-2+ \sqrt{3} ;+\infty) \\ x_2\in(-1;5) \end{array}$
Сравним числа $-2+ \sqrt{3}$ и -1:
$-2+ \sqrt{3} \neq -1 \\\ -1+ \sqrt{3} \neq 0 \\\ \sqrt{3} -1 \neq 0 \\\ \sqrt{3} -1 \ \textgreater \ 0$
Значит, $-2+ \sqrt{3}\ \textgreater \ -1$и решение системы, а значит и исходного неравенства, выглядит следующим образом:
$x\in (\sqrt{3}-2;\ 5)$

Так как неравенство строгое, то число 5 не входит в решение, а значит наибольшее целое решение неравенства - число 4.

ответы:
решение неравенства: $( \sqrt{3}-2; \ 5)$
наибольшее целое решение: число 4

Answer 2

Обе части неравенства можно возвести в квадрат при условии, что 4x+3>0.
(|x^2-2|)^2<(4x+3)^2
(x^2-2)^2-(4x+3)^2<0
(x^2-2-4x-3)(x^2-2+4x+3)<0
(x^2-4x-5)(x^2+4x+1)<0
Разложим первые скобки на множители:
x^2-4x-5:
D=(-4)^2-4*(-5)=36
x1,2=(4+-√36)/2=2+-3
x1=-1.
x2=5
x^2-4x-5=(x+1)(x-5)
Разложим вторые скобки на множители:
x^2+4x+1:
D=4^2-4*1=12
x1,2=(-4+-√12)/2=-2+-√3
x^2+4x+1=(x-(-2-√3))(x-(-2+√3))
Получим:
(x+1)(x-5)(x-(-2-√3))(x-(-2+√3))<0
Отсортируем нули левой части неравенства:
-2-√3, -1, √3-2, 5
Изобразим на прямой 0x эти точки и найдем решение:
 -2-√3 -1  √3-2 5 >x
  +                 -             +                       -                          +
То есть подходит x∈(-2-√3;-1)∪(√3-2;5)
Теперь учтем наложенное ранее ограничение:
4x+3>0
x>-3/4
Так как -1 < -3/4 и -3/4 < √3-2, то окончательным решением будет x∈(√3-2;5).
Наибольшим целым решением является x=4.