Question

Вычислить интеграл, пользуясь формулой ньютона-лейбница

Answer 1

$\int \frac{5x\cdot dx}{(x-1)(x^2+2x+2)} =I\\\\ \frac{5x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+2} = \frac{(A+B)x^2+(2A-B+C)x+(2A-C)}{(x-1)(x^2+2x+2)} \\\\x^2\; |\; A+B=0\; ,\qquad \quad A=-B\\\\x^1\; |\; 2A-B+C=5\; ,\qquad -3B+C=5\; ,\; -3B-2B=5,\; B=-1\\\\x^0\; |\; 2A-C=0\; ,\qquad\quad C=2A=-2B\\\\B=-1,\; A=1,\; C=2.$

$I=\int \frac{dx}{x-1} +\int \frac{-x+2}{x^2+2x+2} dx=ln|x-1|-\int \frac{x-2}{(x+1)^2+1} dx=\\\\=[\, x+1=t\; ,\; x=t-1\; ,\; dx=dt\, ]=\\\\=ln|x-1|-\int \frac{t-3}{t^2+1} dt=ln|x-1|-\int \frac{t\, dt}{t^2+1} +3\int \frac{dt}{t^2+1} =$

$=[u=t^2+1,du=2t*dt]=$

$=ln|x-1|-\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}+3arctgt=\\\\=ln|x-1|-\frac{1}{2}ln|u|+3arctg(x+1)+C=\\\\=ln|x-1|-\frac{1}{2}ln|x^2+2x+2|+3arctg(x+1)+C$