Question

Дмитрий тихомиров: (√(1-ctg^2(2π*cos(πx)+sin(πx)=√2

Answer 1

$\cos \pi x\cdot \sqrt{1-ctg^22\pi x} +\sin \pi x= \sqrt{2} \\ \\ \cos \pi x\cdot \sqrt{1-(ctg^22\pi x+1-1)} +\sin \pi x= \sqrt{2} \\ \\ \cos \pi x\cdot \sqrt{2- \frac{1}{\sin^22\pi x} } +\sin \pi x= \sqrt{2} \\ \\ \sqrt{2\cos^2\pi x- \frac{1}{4\sin^2\pi x} } +\sin\pi x= \sqrt{2} \\ \\ \sqrt{2-2\sin^2\pi x- \frac{1}{4\sin^2\pi x} } +\sin\pi x= \sqrt{2}$

Сделаем замену.
   Пусть $\sin \pi x=t$, причем $|t| \leq 1$. Тогда

$\sqrt{2-2t^2- \frac{1}{4t^2} } +t= \sqrt{2} \\ \\ \sqrt{ \frac{8t^2-8t^4-1}{4t^2} } = \sqrt{2} -t$
Возведем обе части в квадрат, получаем:
  $\frac{8t^2-8t^4-1}{4t^2} =2+t^2-2t \sqrt{2} |\cdot 4t^2\\ \\ 8t^2-8t^4-1=8t^2+4t^4-8 t\sqrt{2} \\ \\ 12t^4-8t\sqrt{2} +1=0$

Положим $z=\sqrt{2} t$. Тогда
  $3z^4-4z^3+1=0\\ 3z^4-3z^3-z^3+z^2-z^2+z-z+1=0\\ 3z^3(z-1)-z^2(z-1)-z(z-1)-(z-1)=0\\ (z-1)(3z^3-z^2-z-1)=0\\ z-1=0;\,\,\,\Rightarrow \,\,\,z=1;\\ \\ 3z^3-z^2-z-1=0$
Добавим и вычтем некоторые слагаемые
$3z^3-3z^2+2z^2-2z+z-1=0\\ 3z^2(z-1)+2z(z-1)+z-1=0\\ (z-1)(3z^2+2z+1)=0\\z-1=0;\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,z=1\\ \\ 3z^2+2z+1=0\\D=b^2-4ac=2^2-4\cdot3\cdot1=4-12=-8\ \textless \ 0$
$D\ \textless \ 0$, уравнение действительных корней не имеет

$z= \sqrt{2} t\\ t= \frac{1}{ \sqrt{2} }$

Возвращаемся к замене
  $\sin \pi x=\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ \pi x=(-1)^k\cdot\arcsin(\frac{1}{ \sqrt{2} } )+\pi k,k \in Z\\ \\ \pi x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in Z\,\,|:\pi\\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{1}{4} +k,k \in Z$

ответ: $(-1)^k\cdot \frac{1}{4} +k,k \in Z$