Question

Подробно с ! 1.решите систему уравнений: sinx-cosy=0 2cos^2y+sinx=3 2.найдите положительное значение точки максимума функции: f(x)=1/3x^3 + x^2 - 1/4x^4 3. площадь круга , вписанного в правильный шестиугольник , равна 60, 75п см^2. найдите периметр шестиугольника.

Answer 1

1) Дана  система уравнений: {sinx-cosy=0
                                             {2cos^2y+sinx=3.
Из первого уравнения получаем sinx = cosy и подставляем во второе уравнение.
2cos^2y+cosy=3.
Производим замену: cosy = а и получаем квадратное уравнение:
2а²+а-3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно a: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*2*(-3)=1-4*2*(-3)=1-8*(-3)=1-(-8*3)=1-(-24)=1+24=25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a₁=(√25-1)/(2*2)=(5-1)/(2*2)=4/(2*2)=4/4=1;a₂=(-√25-1)/(2*2)=(-5-1)/(2*2)=-6/(2*2)=-6/4=-1,5  этот корень отбрасываем.
Обратная замена: a = cosy =1, у = πk, k ∈ Z.
Находим вторую неизвестную из равенства sinx = cosy.
sinx = 1, х = (π/2)+2πk, k ∈ Z.

2) Дана функция $y= \frac{1}{3}x^3+x^2- \frac{1}{4}x^4.$
Находим производную: y' = x²+2x-x³ и приравниваем её нулю:
-х(х²-х-2) = 0.
Первый корень равен х₁ = 0.Выражение в скобках - квадратный трёхчлен. Приравниваем его нулю.
х²-х-2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₂=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;x₃=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.
Таким образом, найдены 3 критические точки:
х = -1, х = 0, х = 2.
Определяем их свойства, найдя значения производной в критических точках и вблизи их.
х =    -1.5    -1     -0.5    0    0.5      1.5       2         2.5
у' =   2.625  0   -0.625   0   1.125   1.875    0      -4.375.
Из этих данных видно, что в точке х = 2 производная меняет знак
 с + на -.
Это положительное значение точки максимума функции.
 3) Радиус круга вписанного в шестиугольник равен r=a√3/2 
S=πr^2 
π*3a^2/4=60.75π 
3a^2=243 
a^2=81 
a=9 
P=6a=6*9=54 
ответ P=54