Question

Возьмите трёхзначное число, в котором первая и последняя цифры отличаются не менее чем на 2. запишите его цифры в обратном порядке. из большего числа вычтите меньшее. цифры получившегося числа запишите в обратном порядке. два последних числа сложите. получилось 1089. в чём секрет фокуса?

Answer 1

Пусть трехзначное число будет 100a+10b+c. Здесь 1<=a<=9, 0<=b<=9, 0<=c<=9. Ну и пусть a > c. От этого суть решения не поменяется. По условию, a-c>=2. Теперь запишем это число в обратно порядке. Будет 100c+10b+a. Если c=0, то это уже будет двузначное число, но в условии не говорится, что двузначного числа получиться не может. Поэтому c может быть равным 0. Вычтем из большего числа меньшее. Если условились, что a>c, то первое число больше второго. Поэтому вычитаем из первого числа второе.
(100a+10b+c) - (100c+10b+a)=99(a-c). Обозначим a-c=k. При этом k>=2 и k<=9 (взяли граничные значения a=9, c=0).
Очевидно, что числа вида 99k, где 2<=k<=9, являются трехзначными числами вида 100*(k-1)+9*10+(10-k).
Цифры этого числа запишем в обратном порядке:
100*(10-k)+9*10+(k-1).
Сложим два числа:
(100*(k-1)+9*10+(10-k))+(100*(10-k)+9*10+(k-1)) = 101*(k-1)+101*(10-k)+9*10*2=101*(k-1+10-k)+180=101*9+180=1089, что и требовалось доказать.

Answer 2

365=563
563-365=198
198=891
9+1=10
1089