1. Сечение шара - круг. Площадь круга: S = πr².
S₁ = πr₁² = 25π ⇒ r₁ = 5
S₂ = πr₂² = 144π ⇒ r₂ = 12
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
Обозначим ОС = х, тогда OS = 17 - х.
Из прямоугольных треугольников ОСА и OSB выразим радиус шара по теореме Пифагора:
R² = (17 - x)² + r₁² = (17 - x)² + 25
R² = x² + r₂² = x² + 144
(17 - x)² + 25 = x² + 144
289 - 34x + x² + 25 = x² + 144
34x = 170
x = 5
R = √(x² + 144) = √(25 + 144) = √169 = 13
Sпов. шара = 4πR² = 4 · π · 169 = 676π
2. Так как вершины квадрата лежат на сфере, то квадрат вписан в сечение сферы, в окружность, центр которой лежит в точке пересечения диагоналей квадрата.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. Тогда SD - проекция наклонной OD на плоскость АВС, значит ∠SDO = 60° - угол между радиусом и плоскостью АВС.
OS - искомое расстояние.
BD = 12√2 как диагональ квадрата,
SD = 6√2.
Из прямоугольного треугольника SOD:
tg 60° = SO / SD
SO = SD · tg 60° = 6√2 · √3 = 6√6
3. Так как стороны треугольника касаются шара, то круг - сечение шара - вписан в треугольник.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
OS = √2 - расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
Полупериметр треугольника АВС:
p = (8 + 10 + 12)/2 = 15
По формуле Герона:
Sabc = √(p·(p - AB)·(p - BC)·(p - AC))
Sabc = √(15 · 7 · 5 · 3) = √(5 · 3 · 7 · 5 · 3) = 15√7
Sabc = p·r, где r = SK - радиус вписанной окружности.
p · SK = 15√7
SK = 15√7 / 15 = √7
Из прямоугольного треугольника SOK по теореме Пифагора:
ОК = √(SK² + OS²) = √(7 + 2) = √9 = 3
R = 3
4. Ядро - шар. Если его переплавили в конус, значит объем шара и конуса одинаков.
Пусть R = 1 - радиус шара, r - радиус конуса.
Vшара = 4/3 π R³ = 4/3π
Vконуса = 1/3 πr² · h = 4/3π, отсюда
r² · h = 4
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса, по теореме Пифагора:
r² + h² = 6
Получили систему уравнений:
r² · h = 4
r² + h² = 6
r² = 6 - h²
(6 - h²) · h = 4 (2)
Решим второе:
6h - h³ = 4
h³ - 6h + 4 = 0
(h - 2)(h² + 2h - 2) = 0
h = 2
или
h² + 2h - 2 = 0
D/4 = 1 + 2 = 3
h = - 1 - √3 - не подходит по смыслу задачи, или
h = - 1 + √3 - не подходит по условию, так как высота не меньше 1.
ответ: h = 2
1) 2 (во сколько раз увеличится скорость, во столько раз уменьшится время. 5/2,5=2)
2) 60, 115, 245 (2+3+7=12; 420/12=35; 35*2=60; 35*3=115; 35*7=245)
3) 252 (1/3 это 6, значит 1 это 6*3=18; 4*18=72; 10*18=180; 72+180=252)
4) 3
2:3=(5х-7):12
5х-7=12*2:3
5х-7=8
5х=15
х=3
5) 8
3:2=12:х
х=12*2:3
х=8
6) 5,54
Система из 3 уравнений
x+Y+Z=92
x:y=1/3:4
y:z=6:5
x+Y+Z=92
x:y=1:12
y:z=6:5
x+Y+Z=92
x=12y
y:z=6:5
Подставляем 12у вместо х
13у+z=92
y:z=6:5
z=92-13у
y:z=6:5
Подставляем 92-13у вместо z
y:(92-13у)=6:5
5у=6(62-13у)
5у=552-78у
83у=552
у=552/83
Находим z
z=92-13у
z=92-13*552/83
z=5,54
Пошаговое объяснение:
5/6 > 0,8
2)7/11 ~ 0,636
3/5 = 0,6
7/11 > 3/5