Question

Даны вершины пирамиды а1, а2, а3, а4. средствами векторной найти: 1) длину ребра а1а2; 2) угол между ребрами а1а2 и а1а3; 3) площадь грани а1а2а3 ; 4) объем пирамиды а1а2а3a4 5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины a4. координаты вершины: a1(3, 6, 1) a2(6, 1, 4) a3(3, -6, 10) a4(7, 5, 4)

Answer 1

1) Вектор A₁A₂ = A₂ - A₁ = (6, 1, 4) -  (3, 6 ,1) = (3, -5, 3). Длина вектора равна |A₁A₂| = $\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{43}$

2) Вектор A₁A₃ = (0, -12, 9). Его длина |A₁A₃|= 15. Угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃ вычисляется по формуле:

$cos(a) = \frac{A1A2}{|A1||A2|}$

A₁A₂ ⁻ A₁A₃  = 3 ⁻ 0 + (-5) ⁻(-12) + 3 ⁻ 9 = 87;
|A₁A₂| ⁻ |A₁A₃| = 15√43

Отсюда cos(a) = $\frac{87}{15\sqrt{43}} = \frac{29\sqrt{43}}{215}$