Для початку знайдемо векторне добуток (3a+c) × (b-c) за до властивостей векторного добутку:
(3a+c) × (b-c) = (3a) × (b-c) + c × (b-c).
Спочатку обчислимо перший доданок:
(3a) × (b-c) = 3(a × (b-c)).
За властивістю розподільності векторного добутку щодо скалярного множення, ми можемо записати це як:
3(a × (b-c)) = 3(a × b - a × c).
Тепер обчислимо другий доданок:
c × (b-c).
Оскільки вектори c ⊥ a та c ⊥ b, це означає, що їхнє скалярне добуток дорівнює нулю. Тому:
c × (b-c) = 0.
Отже, ми отримуємо:
(3a+c) × (b-c) = 3(a × b - a × c) + 0 = 3(a × b - a × c).
Тепер нам потрібно обчислити векторний добуток a × b. Однак, ми не маємо конкретних значень для векторів a та b, тому не можемо точно обчислити скалярний добуток (3a+c) × (b-c) без додаткової інформації.
Площа основи піраміди є:
S = (1/2) * a * b,
де a і b - катети прямокутного трикутника, або сторони основи піраміди.
Так як найменша сторона прямокутного трикутника - 6 см, то нехай b = 6 см. Тоді отримуємо:
24 см² = (1/2) * a * 6 см.
Звідси ми можемо знайти a:
a = 8 см.
Так як усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 45°, то ми можемо скласти прямокутний трикутник з половини збереженої піраміди. Одне катет цього трикутника - висота піраміди, а інший катет - половина одного з бічних ребер піраміди нахилом до основи. Таке бічне ребро ми можемо знайти за теоремою Піфагора:
(b/2)² + (h)² = (a/2)²,
де h - висота піраміди.
Підставляємо відомі значення та розв'язуємо рівняння:
(3)² + (h)² = (4)²,
9 + (h)² = 16,
(h)² = 7.
Отже, висота піраміди дорівнює:
h = √7 см.
