Для доказательства данного тождества мы воспользуемся формулами произведения тригонометрических функций.
Начнем с левой части тождества:
cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a.
Мы можем заметить, что это является разностью двух квадратов, а именно (cos^2a)^2 - 2*2*cos^2a*sin^2a + (sin^2a)^2.
Теперь воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: sin2a = 2*sin a*cos a.
Мы можем переписать исходное выражение следующим образом:
(cos^2a)^2 - 2*sin^2a*cos^2a + (sin^2a)^2.
Далее, воспользуемся формулой сложения и вычитания тригонометрических функций:
cos2a = cos^2a - sin^2a,
sin2a = 2*sin a*cos a.
Тогда из наших предыдущих выражений мы можем выразить cos^2a и sin^2a через cos2a и sin2a:
cos^2a = (1 + cos2a) / 2,
sin^2a = (1 - cos2a) / 2.
Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:
[(1 + cos2a) / 2]^2 - 2 * [(1 - cos2a) / 2] * [(1 + cos2a) / 2] + [(1 - cos2a) / 2]^2.
После раскрытия скобок получим:
(1 + 2cos2a + cos^2(2a)) / 4 - (1 - cos^2(2a)) + (1 - 2cos2a + cos^2(2a)) / 4.
Просуммируем и сократим некоторые члены выражения:
1/4 + 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4 - 1 + cos^2(2a) - 1/4 - 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4.
Обратим внимание на группировку членов, содержащих cos2a и cos^2(2a):
1/4 - 1 - 1/4 + 2cos2a/4 - 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4 + cos^2(2a)/4.
Произведем несколько арифметических операций и объединим слагаемые:
-3/4 + 2cos2a/4 + 2cos^2(2a)/4.
Теперь перепишем это выражение в более лаконичной форме:
(2cos^2(2a) + 2cos2a - 3) / 4.
Заметим, что числитель данного выражения является формулой для cos4a.
Таким образом, левая часть нашего исходного тождества примет следующий вид:
(cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a) = (2cos^2(2a) + 2cos2a - 3) / 4 = cos4a.
Таким образом, мы доказали тождество cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a = cos4a.
