Я докажу первое и последнее, остальное - сам.
1)
Доказательство "⇒".
Пусть у нас дано ((A∪B)⊂C), докажем тогда, что
1.1) A⊂C,
и
1.2) B⊂C.
1.1) x∈A⊂A∪B, ⇒ x∈A∪B⊂С, ⇒ x∈C. То есть A⊂C.
1.2) x∈B⊂A∪B, ⇒ x∈A∪B⊂C, ⇒ x∈C. То есть B⊂C.
чтд.
Доказательство "<=".
Пусть у нас дано: A⊂C и B⊂C. Докажем тогда, что
A∪B⊂C.
Пусть x∈A∪B, ⇔ x∈A или x∈B.
a) x∈A⊂C, ⇒ x∈C.
б) x∈B⊂C, ⇒ x∈C.
То есть A∪B⊂C.
4)
Пусть у нас дано (A⊂(B∪C)). Докажем тогда, что
Пусть , ⇔ и , ⇔
Тогда т.к. A⊂B∪C, имеем
Первый случай. Если x∈B и x∉B, то x∈∅⊂C ⇒ x∈C.
Второй случай. Если x∈C и x∉B, то x∈C\B⊂C, ⇒ x∈C.
Пусть у нас дано , докажем тогда, что
A⊂ B∪C.
Пусть x∈A. Тут возможны два варианта x∈B, либо x∉B.
Случай первый: x∈A и x∈B, ⇒ x∈A∩B⊂B, ⇒ x∈B⊂B∪C, ⇒ x∈B∪C.
Случай второй: x∈A и x∉B, ⇒ и , ⇒
⇒ , ⇒ x∈C⊂B∪C, ⇒ x∈B∪C.
Я докажу первое и последнее, остальное - сам.
1)
Доказательство "⇒".
Пусть у нас дано ((A∪B)⊂C), докажем тогда, что
1.1) A⊂C,
и
1.2) B⊂C.
1.1) x∈A⊂A∪B, ⇒ x∈A∪B⊂С, ⇒ x∈C. То есть A⊂C.
1.2) x∈B⊂A∪B, ⇒ x∈A∪B⊂C, ⇒ x∈C. То есть B⊂C.
чтд.
Доказательство "<=".
Пусть у нас дано: A⊂C и B⊂C. Докажем тогда, что
A∪B⊂C.
Пусть x∈A∪B, ⇔ x∈A или x∈B.
a) x∈A⊂C, ⇒ x∈C.
б) x∈B⊂C, ⇒ x∈C.
То есть A∪B⊂C.
чтд.
4)
Доказательство "⇒".
Пусть у нас дано (A⊂(B∪C)). Докажем тогда, что
Пусть
, ⇔ 
и 
, ⇔
Тогда т.к. A⊂B∪C, имеем
Первый случай. Если x∈B и x∉B, то x∈∅⊂C ⇒ x∈C.
Второй случай. Если x∈C и x∉B, то x∈C\B⊂C, ⇒ x∈C.
чтд.
Доказательство "<=".
Пусть у нас дано
, докажем тогда, что
A⊂ B∪C.
Пусть x∈A. Тут возможны два варианта x∈B, либо x∉B.
Случай первый: x∈A и x∈B, ⇒ x∈A∩B⊂B, ⇒ x∈B⊂B∪C, ⇒ x∈B∪C.
Случай второй: x∈A и x∉B, ⇒
и 
, ⇒
⇒
, ⇒ x∈C⊂B∪C, ⇒ x∈B∪C.
чтд.