Question

Решить систему
{x^2-3xy+y^2=-1
{2x^2+5xy-y^2=17

Answer 1

$\displaystyle \begin{cases}&\text{}x^2-3xy+y^2=-1\\&\text{}2x^2+5xy-y^2=17\end{cases}~~~\Rightarrow~~~ \begin{cases}&\text{}-x^2+3xy-y^2=1\\&\text{}2x^2+5xy-y^2=17\cdot 1\end{cases}\\ \\ 2x^2+5xy-y^2=17(-x^2+3xy-y^2)\\ \\ 19x^2-46xy+16y^2=0\\ \\ 19x^2-38xy-8xy+16y^2=0\\ \\ 19x(x-2y)-8y(x-2y)=0\\ \\ (x-2y)(19x-8y)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$\begin{cases}&\text{}x^2-3xy+y^2=-1\\&\text{}\left[\begin{array}{ccc}x-2y=0\\ \\ 19x-8y=0\end{array}\right\end{cases}~~~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}x^2-3xy+y^2=-1\\&\text{}\left[\begin{array}{ccc}x=2y\\ \\ x=\dfrac{8y}{19}\end{array}\right \end{cases}$

Подставляя x = 2y в первое уравнение системы, мы получим

$(2y)^2-3\cdot 2y\cdot y+y^2=-1\\ 4y^2-6y^2+y^2=-1\\ y^2=1\\ y=\pm1$

Если y = -1, то x = -2; если y = 1, то x = 2.

Подставим теперь x = 8y/19 в первое уравнение, получим

$\left(\dfrac{8y}{19}\right)^2-3\cdot \dfrac{8y}{19}\cdot y+y^2=-1~~\bigg|\cdot 19^2\\ \\ 64y^2-456y^2+361y^2=-361\\ \\ 31y^2=361\\ \\ y=\pm\dfrac{19}{\sqrt{31}}$

Если $y=\pm\dfrac{19}{\sqrt{31}}$, то $x=\pm\dfrac{8}{\sqrt{31}}$

Окончательный ответ:  $\left(-\dfrac{8}{\sqrt{31}};-\dfrac{19}{\sqrt{31}}\right),~\left(\dfrac{8}{\sqrt{31}};\dfrac{19}{\sqrt{31}}\right),~ \left(-2;-1\right),~\left(2;1\right).$