Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда
\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.
Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Замечание. Вычисление короче записывают так:
\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Пошаговое объяснение:
Пошаговое объяснение:
предложена немецким геофизиком Вегенером в 1912 г. В основе ее лежит представление, что сложенные п. гранитного слоя материки изостатически плавают на подстилающем базальтовом слое. По Г. В. первоначально вся поверхность Земли была покрыта тонким гранитным слоем. Затем под воздействием приливных сил, стремящихся переместить поверхностный покров с востока на запад, и центробежной силы, вызывающей давление, направленное от полюсов к экватору, весь гранитный материал собрался в палеозое в единый утолщенный блок, покрывавший лишь часть поверхности земного шара — материк Пангея. В мезозое и кайнозое те же приливные и центробежные силы раскололи этот единый материк на части. Зап. часть Пангеи — Америка, отделившись от Европы и Африки, перемещалась к западу быстрее и между ними образовался Атлантический океан. Быстро перемещаясь на запад, Америка преодолевала сопротивление базальтового субстрата, в результате чего вдоль ее зап. побережья сформировались складчатые горные системы Кордильер и Анд. В то же время Антарктида и Австралия, отделившись от Африки и Азии, сместились по отношению к ним на юг и юго-восток. Африка наполовину отделилась от Азии и между ней, Антарктидой, Австралией и Индостаном образовался Индийский океан. Островные дуги на востоке Азии представляют небольшие обломки Пангеи, отстающие при смещении материка к западу.
