Верно ли утверждение: а) если каждое слагаемое не кратно числу a, то и сумма не кратна числу a; б) если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу a, то и разность кратна числу a?
А) Нет. Числа 1 и a-1 не кратны a, но их сумма 1+(a-1)=a кратна a. б) Да. Уменьшаемое можно обозначить за a*n, а вычитаемое за a*m, где n и m — какие-то натуральные числа. Тогда разность равна a*(n-m) и поэтому также кратна числу a.
Запишем неизвестное двузначное число в виде a*10+b, где a≠0 (иначе число будет однозначным). Тогда по условию a*10+b+b*10+a=11*a+11*b=11*(a+b)=n², где n² - натуральное число. Так как число a может принимать любые натуральные значения от 1 до 9, а число b - любые целые значения от 0 до 9, то их сумма может быть натуральным числом от 1 до 18. Тогда произведение 11*(a+b) может принимать значения 11,22,33,44,55,66,77,88,99,110,121,132,143,154,165,176,187,198,209. Из этих чисел квадратом натурального числа является только число 121=11².Отсюда следует, что a+b=11. А это возможно в следующих случаях: a=2, b=9 - число 29 a=3, b=8 - число 38 a=4, b=7 - число 47 a=5, b=6 - число 56 a=6, b=5 -число 65 a=7, b=4 - число 74 a=8, b=3 - число 83 a=9, b=2 - число 92.
Сумма этих чисел S есть сумма арифметической прогрессии с первым членом a1=29, разностью прогрессии d=9 и числом членов n=8. Тогда S=8*(29+92)/2=4*121=484. ответ: 484.
б) Да. Уменьшаемое можно обозначить за a*n, а вычитаемое за a*m, где n и m — какие-то натуральные числа. Тогда разность равна a*(n-m) и поэтому также кратна числу a.