Question

Найти тангенс (альфа+пи/4) если косинус 2альфа=1/3 и альфа принадлежит(0; пи/2)

Answer 1

$tg(a+\frac{\pi}{4})=\frac{tga+tg\frac{\pi}{4}}{1-tga*tg\frac{\pi}{4}}=\frac{1+tga}{1-tga};$ (1)

Теперь cos2a выразим через tga и сделав замену переменной tga = t, получим уравнение для t:

$cos2a=\frac{1-tg^2a}{1+tg^2a}=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1}{3};$

$3-3t^2=1+t^2;\ \ \ 4t^2=2;\ \ \ t=\frac{1}{\sqrt{2}}.$                   (2)

Взяли t положительным, так как в I четверти тангенс положителен.

Теперь находим искомое значение, подставив (2) в (1):

$tg(a+\frac{\pi}{4})=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}.$

ответ: $3+2\sqrt{2}.$