Question

Имеются три куска сплава из золота, серебра и меди; куски эти содержат:

1) 5 частей золота; 6 частей серебра; 8 частей меди

2) 3 части золота; 5 частей серебра; 7 частей меди

3) 7 частей золота; 13 частей серебра; 18 частей меди

по скольку килограммов надо взять от каждого куска, чтобы образовать сплав, в котором бы было 79 кг. золота, 118 кг. серебра и 162 кг. меди?

Answer 1

Эта задача на систему линейных уравнений.

Количество частей: в 1 -19, во 2 -15, в 3 - 38.

Золото - х1, серебро - х2 и медь - х3.

(5/19)x1 +   (3/15)x2 +   (7/38)x3 = 79

(6/19)x1 +   (5/15)x2 +   (13/38)x3 = 118

(8/19)x1 +   (7/15)x2 +   (18/38)x3 = 162.

Далее можно двумя путями: 1) оставить дробные коэффициенты, или 2) привести к общему знаменателю.

1) Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса:

5 /19    3/ 15    7/ 38  79

6/ 19    5/ 15    13/ 38  118

8/ 19    7/ 15    18/ 38  162.

Первую строку делим на   5/ 19:

  1            19/ 25         7/ 10      1501/ 5  

6/ 19    5/ 15     13/ 38       118

8/ 19    7/ 15    18/ 38        162.

От 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на   6/ 19 ; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на   8/ 19:  

1   19/ 25    7/ 10           1501/ 5  

0   7/ 75    23/ 190        116/ 5  

0   11/ 75    17 /95             178/ 5.

Вторую строку делим на   7/ 75:  

1   19/ 25    7/ 10           1501/ 5  

0      1       345/ 266           1740/ 7  

0   11/ 75    17/ 95              178/ 5.

От 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на   19/ 25 ; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на   11/ 75: 

1 0      -  2/ 7      779/ 7  

0 1   345/ 266    1740/ 7  

0 0   - 3/ 266            - 6/ 7.

Третью строку делим на  (- 3/ 266):

1            0      - 2/ 7              779/ 7  

0           1      345/ 266        1740/ 7  

0           0            1                    76.

К 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на   2/ 7 ; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на   345/ 266: 

1 0 0 133

0 1 0 150

0 0 1 76

ответ: золота 133 кг, серебра 150 кг, меди 76 кг.

2)  Аналогично с целыми числами.

2850 2166 1995 855570

3420 3610 3705 1277940

4560 5054 5130 1754460

1 0,76 0,7          300,2

0 -1010,8 -1311  -251256

0 180,5 142,5 37905

1    0    -0,286    111,286

0 -1010,8 -1311             -251256

0 0       91,61                6962,143

1 0 -0,286 111,286

0 1 1,297 248,571

0 0     1            76

1 0 0 133

0 1 0 150

0 0 1 76.