Математика: Найти угол между векторами ab и ac если a=(1; 4). b=(-1 -4). c=(2; -1)

Найти угол между векторами ab и ac если a=(1; 4). b=(-1'-4). c=(2; -1)

👇

Ответ:

renat20648643540

15.04.2022

Даны координаты точек : A(1;4), B(-1;-4), C(2;-1).
Находим координаты векторов.
$\vec{AB}=(x_{B}-x_{A}; y_{B}-y_{A})=(-1-1; -4-4)=(-2;-8) \\ \\ \vec{AC}=(x_{C}-x_{A}; y_{C}-y_{A})=(2-1; -1-4)=(1;-5)$
Из формулы скалярного произведения
$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=|\vec{AB}|\cdot |\vec{AB}|\cdot cos\angle (\vec{AB},\vec{AC}) \Rightarrow \\ \\ cos\angle(\vec{AB},\vec{AC}) = \frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}|\cdot |\vec{AB}|}= \frac{(-2)\cdot1+(-8)\cdot(-5)}{ \sqrt{(-2)^2+(-8)^2}\cdot \sqrt{1^2+(-5)^2} }= \frac{38}{ \sqrt{68} \cdot \sqrt{26} } \\ \\ \angle(\vec{AB},\vec{AC}) =arccos \frac{38}{ \sqrt{68} \cdot \sqrt{26} }$

4,6(67 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

vovova2020

15.04.2022

Радиусы вписанной в равнобедренный треугольник и описанной около равнобедренного треугольника окружности равны соответственно:

$r = \dfrac{b}{2} \sqrt{ \dfrac{2a - b}{2a + b} } \\ \\ R = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - b^2} } = \dfrac{a^2}{ \sqrt{(2a - b)(2a + b)} }$ ,
где a - боковая сторона, b - основание, r - радиус вписанной окружности, R- радиус описанной окружности.

Сделаем замену переменных, чтобы было легче преобразовывать.
Пусть $t = 2a - b, \ \ z = 2a + b$

$2r = b \sqrt{\dfrac{t}{z} } \\ \\ R = \dfrac{a^2}{ \sqrt{tz} } \\ \\ \\ 3 = b \sqrt{\dfrac{t}{z} } \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{tz} }$

Разделим первое уравнение на второе:

$\dfrac{3}{ \dfrac{25}{8} } = \dfrac{b \sqrt{t} \sqrt{tz} }{ \sqrt{z}a^2 } \\ \\ \\ \dfrac{24}{25} = \dfrac{bt}{a^2}$

Сделаем обратную замену:

$\dfrac{24}{25} = \dfrac{b(2a - b)}{a^2} \\ \\ 24a^2 = 50ab - 25b^2 \\ \\ 24a^2 - 50ab + 25b^2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |: b^2 \\ \\ 24 \dfrac{a^2}{b^2} - 50 \dfrac{a}{b} + 25 = 0$

Пусть $x = \dfrac{a}{b}$

$24x^2 - 50x + 25 = 0 \\ \\ D = 2500 - 25 \cdot 4 \cdot 24 = 100 = 10^2 \\ \\ x_1 = \dfrac{50 + 10}{24 \cdot 2} = \dfrac{60}{12 \cdot 4} = \dfrac{5}{4} \\ \\ x_2 = \dfrac{50 - 10}{24 \cdot 2} = \dfrac{40}{48} = \dfrac{5}{6}$

Значит, боковая сторона относится к основанию как 5:4, либо как 5:6.

Обратная замена:

$\dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - b^2} } \\ \\ a = 1,25b \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{6,25b^2}{ \sqrt{4 \cdot 6,25b^2 - b^2 } } \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{25b^2}{16 \sqrt{25b^2 - b^2} } \\ \\ \\ 1 = \dfrac{b^2}{2 \sqrt{24b^2} } \\ \\ 2 = \dfrac{b^2}{2 \sqrt{6}b } \\ \\ 4 = \dfrac{b}{ \sqrt{6} } \\ \\ b = 4 \sqrt{6}$

Получилось, что основание выражается иррациональным числом. Значит, данное значение не подходит.

Теперь решим второе уравнение:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{6} \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - b^2} } \\ \\ \\ \dfrac{b}{a} = 1,2 \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - b^2} } \\ \\ b = 1,2a \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - 1,44a^2} } \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a}{ \sqrt{2,56} } \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a}{1,6} \\ \\ a = 5 \\ \\ b = 1,2a = 6$

Значит, боковая сторона равна 5 см, а основание - 6 см.
ответ: 5 и 6.

4,7(3 оценок)

Ответ:

shcherbakova05

15.04.2022

Заметим, что если 0≤a≤1, то a^k≤a для любого k∈N, k≥2, причем равенство a^k=a справедливо только при a=0 и a=1
Полагая a=sin^2x, получаем неравенство
$sin^5x \leq sin^2x$
Справедливо при всех x∈R причем равенство sin^5x=sin^2x является верным только в случаях sinx=0 и |sinx|=1
Аналогично для любого x∈R получаем справедливое неравенство
$cos^5x \leq cos^2x$
причем равенство cos^5x=cos^2x является верным только в случаях cosx=0 и |cosx|=1
Складывая эти неравенства получаем неравенство
$sin^5x+cos^5x \leq 1$ справедливое при всех x∈R причем равенство будет верным когда
sinx=0 и cosx=1
sinx=0 и cosx=-1
sinx=1 и cosx=0
sinx=-1 и cosx=1
Но так как у нас не четная степень, то случаи когда синус или косинус равен -1, мы не рассматриваем, т.к посторонний корень. Получаем только два случая
sinx=0 и cosx=1 (1)
sinx=1 и cosx=0 (2)
Решением для (1) будет $x=2 \pi k$
Решением для (2) будет $x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n$
ответ: $x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n$ и $x=2 \pi k$ где k,n∈Z

4,7(49 оценок)

Это интересно:

Взаимоотношения

21.07.2022

10 простых способов наладить отношения с подростком...

Дом-и-сад

24.10.2021

Унитаз забился или медленно сливает: как решить проблему за несколько минут...

Праздники-и-традиции

18.06.2022

Как подобрать идеальный подарок для папы...

Компьютеры-и-электроника