Question

Утреугольника авс площадь равна 28,5, а основание вс равно 9,5. известно, что окружность, вписанная в треугольник авс, касается средней линии, параллельной основанию. а) докажите, что ас + ав = 3·вс. б) найдите меньшую из боковых сторон.

Answer 1

В треугольнике АВС основание ВС равно 9,5, площадь треугольника равна 28,5. 
Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, 
параллельной основанию. 
а) Докажите, что АС + АВ = 3·ВС.
б) Найдите меньшую из боковых сторон.

Окружность, вписанная в треугольник, является вписанной и в трапецию CDEB.

Суммы противоположных сторон вписанной трапеции равны: DE + BC = DC + BE. 
К тому же средняя линия треугольника (а) в два раза меньше основания (2а).

Сумма боковых сторон трапеции равна (3а). Сумма боковых сторон треугольника 
в два раза больше, т.е. равна (6а). АВ + АС = 6а = 3·(2а) = 3·ВС, ч. т. д.

Воспользуемся доказанным и сделаем обозначения сторон треугольника:

Найдём полупериметр треугольника и все составляющие формулы Герона:
p = 2x + 2y
p - BC = x + y
p - AC = 2y - x
p - AB = 2x - y
S2 = (2x + 2y)(x + y)(2y - x)(2x - y) = 2(x + y)2(2y - x)(2x - y).
S2 = 2(x + y)2·m·n.
Площадь S и значение (x + y) нам даны, а два последних множителя 
в сумме дают (x + y). Обозначим их так: m = 2y - x, n = 2x - y.

              

В итоге получим систему, из которой и найдём боковые стороны:

            

ответ: 10