Решение в прикреплённом изображении.
2¹/ˣ⁻¹<2¹/²ˣ⁻¹+1; 2⁻¹=1/2, умножим обе части неравенства на 2
2¹/ˣ-2¹/²ˣ-2<0
Пусть у=2¹/²ˣ, где у >0. тогда у²-у-2<0, По теореме, обратной теореме Виета, корни левой части уравнения у₁=-2; у₂=1, и
(y-2)(y+1)<0; решив это неравенство методом интервалов, разбив на интервалы числовую ось (∞;-1 );(-1;2);(2;+∞) установим знаки на этих интервалах, имеем у∈(-1;2), да еще учитав, что у>0, получим 0<2¹/ˣ<2 так как основание два больше единицы, то 1/(2х)<2
(1-2х)/2х<0, опять обратимся к методу интервалов, разобьем числовую ось на интервалы (-∞;0); (0;0.5);(0.5;+∞) установим, что левая часть отрицательна при
х∈(-∞; 0)∪ (0.5;+∞)
у=-х³+12х+9
у'=-3х²+12=3(-х²+4)=0
(2-х)(2+х)=0; х=2 или х=-2; это критические точки.
х I (-∞; -2) I -2 I (-2; 2) I 2 I (2; ∞)
y' I - I 0 I + I 0 I -
y I убыв. I min I возр. I maxI убывает
Точка минимума х=-2 - это ответ.