Question

Решить из олимпиады по 9 класс. три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа a, b,c: антон: 1) a+b+c=34, 2) abc=56 борис: 1) ab+bc+ac=311 2)наименьшее из чисел равно 5 настя: 1) a=b=c 2) числа a, b и c - простояв. у каждого школьника оно утверждение верное, а другое - нет. найти числа a,b,c.

Answer 1

Рассмотрим утверждения Насти. Если a=b=c, то оба утверждения Антона ложны. Потому что сумма 34 не делится на 3 и произведение 56 не является кубом. Значит, верно второе утверждение Насти - все числа простые.
Теперь посмотрим, что сказал Антон. 56=7*2*4, оно не раскладывается на три простых. Значит, a+b+c=34. Попытаемся найти числа.
Если сумма трёх простых чисел четна, то одно число четно, а два нет. Значит, одно из чисел равно 2, и утверждение Бориса, что наименьшее число 5 - ложно.
34=2+3+29=2+5+27=2+7+25= 2+11+21=2+13+19
Из всех вариантов только у тройки (2,13,19) произведение
ab+ac+bc=2*13+2*19+13*19=311
ответ: 2, 13, 19