Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции y=2+9x+3x2-x3

Answer 1

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать, как меняется знак производной функции в разных интервалах.

1. Сначала нужно найти первую производную функции y=2+9x+3x^2-x^3. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого, применяя правила дифференцирования:
y' = 0 + 9 + 6x - 3x^2

2. Затем найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Это могут быть критические точки, в которых функция меняет свой характер.

Чтобы найти точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
0 + 9 + 6x - 3x^2 = 0

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
-3x^2 + 6x + 9 = 0

Факторизуем это уравнение:
-3(x^2 - 2x - 3) = 0

(x^2 - 2x - 3) = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:
(x - 3)(x + 1) = 0

Приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:
x - 3 = 0 или x + 1 = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 3 и x = -1.

3. Теперь разделим ось x на интервалы, используя найденные критические точки и проверим знак производной в каждом интервале, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции.

Между -∞ и -1:
Выберем точку в этом интервале, например, x = -2. Подставим эту точку в производную:
-3(-2)^2 + 6(-2) + 9 = -12

Поскольку результат отрицательный, то на этом интервале функция убывает.

Между -1 и 3:
Выберем точку в этом интервале, например, x = 0. Подставим эту точку в производную:
-3(0)^2 + 6(0) + 9 = 9

Поскольку результат положительный, то на этом интервале функция возрастает.

Между 3 и +∞:
Выберем точку в этом интервале, например, x = 4. Подставим эту точку в производную:
-3(4)^2 + 6(4) + 9 = -3

Поскольку результат отрицательный, то на этом интервале функция убывает.

Таким образом, мы получаем два промежутка возрастания функции: (-1, 3) и два промежутка убывания функции: (-∞, -1) и (3, +∞).