43
Пошаговое объяснение:
Я пишу с телефона, поэтому для удобства пусть
p2 = p^2, p3 = p^3
p3 + 4p2 + 4p = p(p2 + 4p + 4) = p(p + 2)^2
p = 2 не подходит
Поэтому p > 2 => gcd(p, p + 2) = 1
Функция количества делителей мультипликативная, значит нам осталось найти только такое минимальное p, что (p + 2)^2 имеет 15 делителей
При этом 15 = 3 * 5
То есть наше число (p + 2)^2 = a^2 * b^4 для некоторых простых чисел a и b
То есть
p + 2 = a * b^2
то есть p = a * b^2 - 2
для некоторых различных простых чисел a и b
Заметим также, что и a, и b, должны быть нечетными, иначе мы получим, что p тоже четное(чего быть не моет, потому что p - просто большее двух)
Тогда попробуем два минимальных простых а и b
Пусть a = 5, b = 3
Тогда p = 5 * 9 - 2 = 43 - - действительно простое
Легко понять, что с ростом a или b p только увеличивается, и что лучше, чтобы b было меньше a
Значит, p = 43 действительно минимальное такое простое.
27 чисел.
Пошаговое объяснение:
Выпишем квадраты целых чисел:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500.
Я выписал все квадраты до 50^2.
Причем не заглядывая в таблицу квадратов! Всё решил в уме.
Разность двух последних равна 99.
Теперь выпишем все имеющиеся разности до 100 включительно:
3, 5, 7, ..., 97, 99 - все нечётные, всего их (99-3)/2 + 1 = 49 разностей.
Теперь считаем чётные разности:
9-1=8; 16-4=12; 25-1=24; 25-9=16; 36-4=32; 36-16=20; 49-1=48; 49-9=40; 49-25=24;
64-4=60; 64-16=48; 64-36=28; 81-1=80; 81-9=72; 81-25=56; 81-49=32;
100-4=96; 100-16=84; 100-36=64; 100-64=36; 121-25=96; 121-49=72; 121-81=40;
144-64=80; 144-100=44; 169-81=88; 169-121=48; 196-100=96; 196-144=52; 225-169=56;
256-196=60; 289-225=64; 324-256=68; 361-289=72; 400-324=76; 441-361=80;
484-400=84; 529-441=88; 576-484=92; 625-529=96; 676-576=100.
Всё, дальше все разности будут больше 101.
Получились чётные разности:
8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100.
Получилось 24 чётных разности и 49 нечётных.
Всего 73 разности может быть.
Остальные 100-73 = 27 чисел нельзя представить, как разность квадратов.
